【分析】
解题时先利用正六边形的性质，设其边长为a，结合正六边形中心角为60°的特点，分别写出点E、点D的坐标；再根据向上平移的规则得到平移后点D的坐标；最后根据反比例函数图象上点的横、纵坐标乘积等于k，列出等式求解参数a，即可算出k的值。
【解析】
设正六边形ABCDEF的边长为a。
∵原点O是正六边形的中心，点D在x轴正半轴上，
∴点D的坐标为$(a,0)$，正六边形每个中心角为$60°$，
∴点E的坐标为$(a\cos60°,a\sin60°)$，即$(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2})$。
将点D向上平移$\sqrt{3}$个单位后，得到的点坐标为$(a,\sqrt{3})$。
∵点E和平移后的点D都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k = \frac{a}{2} × \frac{\sqrt{3}a}{2} = a × \sqrt{3}$，
化简得$\frac{\sqrt{3}a^2}{4} = \sqrt{3}a$，
∵$a＞0$，两边同时除以$\sqrt{3}a$，得$\frac{a}{4}=1$，解得$a=4$，
∴$k = 4×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
正六边形的性质，反比例函数的性质，平移的性质
【点评】
本题属于几何与函数结合的综合题，解题的核心是正确表示出正六边形相关顶点的坐标，结合反比例函数的特征建立方程求解，能较好地考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
解决本题首先要回忆极差的定义：极差是一组数据中最大值与最小值的差，解题按照以下步骤思考：第一步先找出给定四个数中的最大值和最小值；第二步代入极差公式计算，计算时注意遵循有理数减法的运算规则，减去一个负数等于加上这个数的相反数。
【解析】
首先观察给出的四个数：$-10$、$-1$、$0$、$10$，可得这组数据的最大值为$10$，最小值为$-10$。
根据极差的计算公式：$\mathrm{极差}=\mathrm{最大值}-\mathrm{最小值}$，代入数据计算：
$10-(-10)=10+10=20$
【答案】
20
【知识点】
极差的计算；有理数减法运算
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是牢记极差的计算方法，计算过程中注意负号的运算，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题的核心是运用一元二次方程根的定义，先将根m代入原方程得到am²+bm的取值，再整体代入待求代数式计算即可。首先回忆方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此把x=m代入原方程等式必然成立，整理即可得到am²+bm的值，最后代入所求式子就能算出结果。
【解析】
∵ m是关于x的方程$ax^2 + bx + 5 = 0$的一个根，
∴ 将$x=m$代入方程可得：$am^2 + bm + 5 = 0$，
移项得：$am^2 + bm = -5$，
将$am^2 + bm = -5$代入$am^2 + bm -7$得：
原式$=-5-7=-12$。
【答案】
$-12$
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入求值
【点评】
本题属于基础题，重点考查对方程根的定义的理解，不需要求解a、b、m的具体数值，运用整体代入的思想即可快速得到结果，是对基础概念和常用解题思想的考查。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的增减性规律：k的符号直接决定函数在每个象限内的增减趋势。再结合题目给出的“当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小”的条件，判断出k的取值范围，最后在范围内任取一个符合要求的值即可。
【解析】
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的增减性规律如下：
1. 当$k＞0$时，在每一象限内，$y$随$x$的增大而减小；
2. 当$k＜0$时，在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大。
已知该函数当$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，因此可得$k＞0$，任意正数都满足要求，例如取$k=1$。
【答案】
1（答案不唯一，满足$k＞0$即可）
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，只要牢记反比例函数增减性和系数k的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时首先明确：当进行大量重复试验时，某事件发生的频率会逐渐稳定在对应的概率附近，因此可以通过频率估算概率。首先观察折线图，当摸球次数足够多时，摸到红球的频率稳定在0.35附近，即可得到摸到红球的概率约为0.35，再结合总球数，用总球数乘以摸到红球的概率，就能估算出红球的数量。
【解析】
观察频率折线统计图可知，随着摸球次数的增加，“摸到红球”的频率逐渐稳定在0.35附近，据此可估计随机摸出1个球是红球的概率为0.35。
已知盒子中共有60个小球，因此红球的数量约为：
$60 × 0.35 = 21$（个）
【答案】
21
【知识点】
用频率估计概率；概率的计算
【点评】
本题考查频率与概率的关系应用，解题的核心是掌握“大量重复试验下，频率的稳定值可作为事件发生概率的估计值”这一结论，再结合概率的相关计算即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决本题首先回忆圆锥侧面积的计算公式，圆锥的侧面积等于π乘底面半径乘母线长（即$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，其中$r$为底面半径，$l$为母线长）。题目已经给出侧面积和母线长两个已知量，只有底面半径$r$是未知量，将已知数值代入公式，通过解一元一次方程即可求出$r$的值。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r$，已知母线长$l=5$。
根据圆锥侧面积公式：$S_{\mathrm{侧}}=π rl$
将$S_{\mathrm{侧}}=15π$、$l=5$代入公式得：
$15π=π × r × 5$
两边同时除以$π$，可得$15=5r$
解得$r=3$
【答案】
3
【知识点】
圆锥侧面积计算；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是对圆锥侧面积公式的识记与应用，解题时只需准确代入已知量计算即可，注意区分母线长和圆锥的高，避免混淆公式中的参数。
【难度系数】
0.85

【分析】
首先观察所求代数式包含α的二次项$2α^2$，已知α是一元二次方程的根，根据方程根的定义，α满足原方程，因此可以将$2α^2$转化为含α的一次式，实现降次；将降次后的式子代入所求代数式化简，可得到含两根之和$α+β$的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，整体代入即可计算出结果，无需单独求解α、β的具体值，简化计算过程。
【解析】
∵ α是一元二次方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的根
∴ 把x=α代入方程得：$2α^2 - 6α - 1 = 0$，即$2α^2 = 6α + 1$
将$2α^2 = 6α + 1$代入$2α^2 - 3α + 3β$得：
$\begin{aligned}原式&=6α + 1 - 3α + 3β\\&=3α + 3β + 1\\&=3(α+β) + 1\end{aligned}$
根据一元二次方程根与系数的关系，方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$中，$a=2$，$b=-6$
∴ 两根之和$α+β = -\frac{b}{a} = \frac{6}{2} = 3$
将$α+β=3$代入得：$3×3 + 1 = 10$
【答案】
10
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的常规考法，解题关键是利用根的定义对高次项降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，避免了直接求根的复杂运算，掌握整体代入的思想可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.7

【分析】
要计算剩余部分的面积，本质是求大半圆与小半圆的面积差。我们可以通过作辅助线构造直角三角形推导半径关系：过圆心O作AB的垂线，结合垂径定理可得AB的一半长度，再结合切线的性质可知这条垂线的长度等于小圆半径，最后利用勾股定理得到两个圆半径的平方差，整体代入面积公式即可求解，不需要单独求出两个半径的具体值。
【解析】
设大圆的半径为$R\ \mathrm{cm}$，小圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$。
过点$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，
根据垂径定理，可得$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
因为AB是小圆的切线，且AB平行于大圆的直径，所以$OC=r$（圆心到切线的距离等于半径）。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2 = OC^2 + AC^2$，即$R^2 = r^2 + (\frac{5}{2})^2$，整理得$R^2 - r^2 = \frac{25}{4}$。
剩余部分的面积为大半圆面积减去小半圆面积：
$S = \frac{1}{2}π R^2 - \frac{1}{2}π r^2 = \frac{1}{2}π (R^2 - r^2)$
将$R^2 - r^2=\frac{25}{4}$代入得：
$S=\frac{1}{2}π × \frac{25}{4}=\frac{25}{8}π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\frac{25}{8}π \mathrm{cm}^2$
【知识点】
垂径定理，切线的性质，半圆面积计算
【点评】
本题考查圆的相关性质和面积计算，核心是利用整体思想，通过勾股定理得到两个半径的平方差，避免了单独求解半径的繁琐计算，是典型的几何整体代入题型。
【难度系数】
0.6

【分析】
我们可以先设矩形顶点坐标，得到反比例函数图象上点M、N的坐标，再通过坐标计算三角形面积、边长平方，结合不等式、方程知识逐个判断4个结论是否成立。首先设A(a,0)，B(0,b)（a＞0，b＞0），则矩形顶点C(a,b)，由M在AC上、N在BC上且在$y=\frac{1}{x}$上，得$M(a,\frac{1}{a})$，$N(\frac{1}{b}, b)$，再逐一分析结论：
①计算$△ COM$和$△ CON$的面积，对比是否相等；
②分别计算$△ MON$和$△ MCN$的面积，令两者相等求解ab的值，结合M、N不重合的条件判断是否可能；
③利用勾股定理逆定理，计算三边平方的关系，判断是否一定三个角都是锐角；
④先令OM=ON得到a=b的关系，再令MN=OM解方程，判断是否存在符合条件的a、b。
【解析】
设$A(a,0)$，$B(0,b)$（$a＞0,b＞0$），则$C(a,b)$，
∵M在AC上且在$y=\frac{1}{x}$上，AC为$x=a$的直线，
∴$M(a,\frac{1}{a})$，
∵N在BC上且在$y=\frac{1}{x}$上，BC为$y=b$的直线，
∴$N(\frac{1}{b}, b)$，且M、N不重合，故$a≠\frac{1}{b}$即$ab≠1$。
1. 判断结论①：
$S_{△ OAC} = \frac{1}{2} · OA · AC = \frac{1}{2}ab$，$S_{△ OAM} = \frac{1}{2} · a · \frac{1}{a} = \frac{1}{2}$，
∴$S_{△ COM} = S_{△ OAC} - S_{△ OAM} = \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}$；
同理$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}ab$，$S_{△ OBN}=\frac{1}{2} · \frac{1}{b} · b =\frac{1}{2}$，
∴$S_{△ CON} = S_{△ OBC} - S_{△ OBN} = \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}$，
故$S_{△ COM}=S_{△ CON}$，结论①正确。
2. 判断结论②：
$S_{△ CMN} = \frac{1}{2} · CM · CN = \frac{1}{2}(a - \frac{1}{b})(b - \frac{1}{a}) = \frac{1}{2}(ab - 2 + \frac{1}{ab})$，
$S_{△ MON} = S_{矩形OACB} - S_{△ OAM} - S_{△ OBN} - S_{△ CMN} = ab - \frac{1}{2} -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}(ab - 2 + \frac{1}{ab}) = \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2ab}$，
令$S_{△ MON}=S_{△ MCN}$，得：
$\frac{1}{2}ab - \frac{1}{2ab} = \frac{1}{2}ab -1 + \frac{1}{2ab}$
化简得$1=\frac{1}{ab}$，即$ab=1$，此时$M(a,\frac{1}{a})=(a,b)=C$，$N(\frac{1}{b},b)=(a,b)=C$，M、N重合，不符合题意，故结论②错误。
3. 判断结论③：
计算三边平方：
$OM^2 = a^2 + \frac{1}{a^2}$，$ON^2 = b^2 + \frac{1}{b^2}$，$MN^2=(a-\frac{1}{b})^2 + (b-\frac{1}{a})^2$，
取$a=3$，$b=1$，则$OM^2=9+\frac{1}{9}\approx9.11$，$ON^2=1+1=2$，$MN^2=(3-1)^2 + (\frac{1}{3} -1)^2\approx4.44$，
此时$ON^2 + MN^2\approx6.44 ＜ OM^2$，由勾股定理逆定理得$∠ ONM$为钝角，$△ MON$是钝角三角形，故结论③错误。
4. 判断结论④：
若$△ MON$为等边三角形，则$OM=ON=MN$，
由$OM=ON$得$a^2 + \frac{1}{a^2} = b^2 + \frac{1}{b^2}$，整理得$(a^2 - b^2)(1 - \frac{1}{a^2b^2})=0$，
∵$ab≠1$，
∴$a^2=b^2$，又$a,b＞0$，故$a=b$，
此时令$MN^2=OM^2$：
$2(a - \frac{1}{a})^2 = a^2 + \frac{1}{a^2}$，
展开得$2a^2 -4 + \frac{2}{a^2} = a^2 + \frac{1}{a^2}$，即$a^2 + \frac{1}{a^2} =4$，
令$t=a^2＞0$，得$t^2 -4t +1=0$，解得$t=2\pm\sqrt{3}＞0$，存在正实数解，
故存在a、b使得$△ MON$为等边三角形，结论④正确。
综上，正确结论为①④。
【答案】
①④
【知识点】
反比例函数的性质，三角形面积计算，勾股定理逆定理
【点评】
本题结合反比例函数与矩形的性质，考查了三角形面积、三角形形状的判断，解题的关键是设出坐标，利用代数运算验证几何结论，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.4

【分析】
（1）对于方程$x^2 -2x -624=0$，属于一元二次方程的一般形式，一次项系数为偶数，优先选择配方法求解，只需将常数项移到等号右侧，左右两边同时加一次项系数一半的平方，即可将左边转化为完全平方式，再开方计算即可。
（2）对于方程$3x(x-2)=4-2x$，观察到等号右侧可变形为$-2(x-2)$，左右两边含有相同因式$(x-2)$，无需去括号展开，优先选择因式分解法，先移项再提取公因式$(x-2)$，将方程转化为两个一元一次方程求解，注意不要直接两边除以$(x-2)$，避免漏根。
【解析】
(1) 移项得：$x^2 - 2x = 624$
配方得：$x^2 - 2x + 1 = 624 + 1$，即$(x-1)^2 = 625$
开平方得：$x - 1 = \pm 25$
当$x-1=25$时，$x=26$；当$x-1=-25$时，$x=-24$
(2) 原方程变形为：$3x(x-2) = -2(x-2)$
移项得：$3x(x-2) + 2(x-2) = 0$
提取公因式得：$(x-2)(3x + 2) = 0$
所以$x-2=0$或$3x+2=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-\frac{2}{3}$
【答案】
(1) $x_1=26,x_2=-24$ (2) $x_1=-\frac{2}{3},x_2=2$
【知识点】
一元二次方程的解法，配方法，因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时需先观察方程结构选择最简便的解法，第二小题要注意不能直接将等式两边同时除以含未知数的整式，否则会漏掉方程的根。
【难度系数】
0.85