【分析】
这道题考查垂径定理及其推论的应用，解题思路为：先回忆垂径定理的核心内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；再结合同圆中相等的弧对应的圆心角也相等的性质，逐一验证每个选项的正误，最终选出错误的选项即可。
【解析】
已知AB是$\odot O$的弦，$OD\bot AB$，OE是$\odot O$的半径：
1. 根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，可直接得到$AD=BD$，因此A选项说法正确；
2. 由垂径定理的推论，垂直于弦的半径平分弦所对的弧，可得$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，因此C选项说法正确；
3. 在同圆中，等弧所对的圆心角相等，因为$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，所以对应的圆心角$∠ AOE=∠ BOE$，因此B选项说法正确；
4. OD是圆心O到弦AB的距离，$DE=OE-OD$，题目未给出OD等于半径OE一半的特殊条件，因此无法推出$OD=DE$，D选项说法错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，同圆圆心角与弧的关系
【点评】
本题是基础概念应用题，熟练掌握垂径定理的条件和结论是解题的核心，注意若无特殊说明，不能默认弦心距等于半径的一半，避免主观臆断结论。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题要求输水管道的直径，即求横截面圆的直径，已知弦长AB和水深（弓形的高），解题思路如下：1. 利用垂径定理，过圆心作弦AB的垂线，可得到AB的中点，同时得到由弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形；2. 设半径为未知数，用水深表示出弦心距，结合勾股定理列方程求解半径，进而得到直径。
【解析】
过点O作$OC⊥ AB$于点C，延长OC交$\odot O$于点D。
根据垂径定理，可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×0.8=0.4\ \mathrm{m}$，
由题意得水深$CD=0.2\ \mathrm{m}$。
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=r\ \mathrm{m}$，$OC=OD-CD=r-0.2\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2=AC^2+OC^2$
代入数据得：$r^2=0.4^2+(r-0.2)^2$
展开计算：$r^2=0.16+r^2-0.4r+0.04$
化简得：$0.4r=0.2$，解得$r=0.5$。
因此输水管道的直径为$2r=2×0.5=1\ \mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长相关计算的典型基础题，解题核心是通过垂径定理构造直角三角形，将弦长、弦心距、半径的关系转化为勾股定理的数量关系，结合方程思想即可快速求解。
【难度系数】
0.7

【分析】
根据圆的对称性可知，圆心在弦AB的垂直平分线上，所以先求出AB的中点，确定圆心的横坐标；再结合圆的半径长度，利用勾股定理即可求出圆心的纵坐标，进而得到P点坐标。
【解析】
解：过点P作$PC⊥ AB$于点C，
∵点A坐标为$(2,0)$，点B坐标为$(6,0)$，
∴AB的中点C的横坐标为$\frac{2+6}{2}=4$，$AC=\frac{6-2}{2}=2$，
根据垂径定理，PC垂直平分AB，
∴点P的横坐标为4，设$P(4,y)$（$y＞0$），
∵圆的半径$PA=2\sqrt{5}$，
在$Rt△ PAC$中，由勾股定理得：$AC^2 + PC^2 = PA^2$，
代入数值：$2^2 + y^2 = (2\sqrt{5})^2$，
即$4 + y^2 = 20$，解得$y^2=16$，
∵$y＞0$，
∴$y=4$，
∴圆心P的坐标为$(4,4)$。
【答案】
$(4,4)$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查圆的对称性，解题关键是利用垂径定理确定圆心的横坐标，再结合勾股定理计算纵坐标，是圆的对称性的基础应用题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
遇到圆中与弦长相关的问题时，通常过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到线段的相等关系。本题是同心圆的弦被小圆截取两段线段的问题，可过圆心O作AB的垂线，分别对大圆、小圆应用垂径定理，再通过线段差的运算推导AC与BD的等量关系，即可求出BD的长度。
【解析】
过点O作OE⊥AB，垂足为E。
根据垂径定理：
在大圆O中，
∵OE⊥AB，
∴AE = BE；
在小圆O中，
∵OE⊥CD，
∴CE = DE。
∴AE - CE = BE - DE，
即AC = BD。
已知AC=2，
∴BD=2。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理；圆的轴对称性；线段和差计算
【点评】
本题是圆的对称性的基础应用题，作垂直于弦的垂线是圆中弦相关问题的常用辅助线，解题关键是利用垂径定理得到相等的线段，再通过简单的线段运算即可得出结果。
【难度系数】
0.8

【分析】
求解本题首先要明确两条平行弦与圆心的位置关系存在两种情况：①两条弦在圆心的同侧；②两条弦在圆心的异侧，需分类讨论。解题时先利用垂径定理分别求出两条弦到圆心的弦心距，再根据两种位置关系计算两弦之间的距离即可。
【解析】
过圆心O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD，
连接OA、OC，已知⊙O半径为5，
∴OA=OC=5。
根据垂径定理：
AE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}×6=3$，CF = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}×8=4$。
在Rt△OAE中，由勾股定理得：
OE = $\sqrt{OA^2 - AE^2}$ = $\sqrt{5^2 - 3^2}$ = $\sqrt{16}$=4；
在Rt△OCF中，由勾股定理得：
OF = $\sqrt{OC^2 - CF^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = $\sqrt{9}$=3。
分两种情况讨论：
①当AB、CD在圆心O的同侧时，AB与CD的距离为OE - OF =4-3=1；
②当AB、CD在圆心O的异侧时，AB与CD的距离为OE + OF =4+3=7。
综上，AB与CD间的距离为1或7，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是遗漏平行弦在圆心同侧的情况，解题时要全面考虑两条平行弦相对圆心的位置，结合垂径定理和勾股定理计算即可，避免漏解。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先明确圆内的两类特殊弦：①最长的弦是直径，由此可直接得到圆的半径；②过圆内某点的最短弦是与过该点的直径垂直的弦，此时弦心距最大，弦长最短。再结合垂径定理得到最短弦的一半长度，最后利用直角三角形勾股定理计算OP的长度即可。
【解析】
解：
∵过⊙O内点P的最长弦为直径，已知最长弦长为10 cm，
∴⊙O的半径$ r = \frac{10}{2} = 5\ \mathrm{cm} $。
过点P的最短弦是垂直于OP的弦，设该最短弦为AB，连接OA，
∵OP⊥AB，AB=8 cm，
根据垂径定理，得$ AP = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{cm} $。
在Rt△OPA中，OA=5 cm，AP=4 cm，由勾股定理得：
$ OP = \sqrt{OA^2 - AP^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\ \mathrm{cm} $。
【答案】
3 cm
【知识点】
1. 圆的弦的性质
2. 垂径定理
3. 勾股定理
【点评】
本题考查圆的对称性相关的弦长计算，解题关键是牢记过圆内一点的最长弦和最短弦的特征，结合垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的边长问题求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 要求PQ的长，已知OP⊥PQ，△OPQ是直角三角形，OQ是圆的半径为定值，因此只需要求出OP的长即可。由PQ//AB、OP⊥PQ可推出OP⊥AB，在Rt△OPB中，利用∠ABC=30°和OB的长度求出OP，再用勾股定理计算PQ。
(2) 在Rt△OPQ中，OQ为定值，因此PQ的长度由OP的长度决定：OP越小，PQ越大。根据点到直线的线段中垂线段最短，可知当OP⊥BC时OP最短，此时求出OP的最小值，代入勾股定理即可得到PQ的最大值。
【解析】
(1) 连接OQ，
∵ PQ//AB，OP⊥PQ，
∴ OP⊥AB，即∠POB=90°。
在Rt△OPB中，∠ABC=30°，OB=AB÷2=6÷2=3，
∴ OP=OB·tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$。
在Rt△OPQ中，OQ=3，
由勾股定理得：$PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}$。
(2) 连接OQ，
在Rt△OPQ中，$PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}=\sqrt{9-OP^2}$，
∴ 当OP的长最小时，PQ的长最大。
根据垂线段最短，当OP⊥BC时，OP的长度最小，
此时在Rt△OPB中，∠ABC=30°，
∴ $OP=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$，
代入得PQ的最大值为$\sqrt{9-(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{9-\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{6}$；(2) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
勾股定理，垂线段最短，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题结合圆的性质考查直角三角形的相关计算，解题的关键是将PQ的最值问题转化为OP的最值问题，渗透了转化的数学思想，需要熟练掌握特殊直角三角形的性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6