【分析】要选择最佳射门方式，本质是比较A、B、C三点对球门PQ的张角大小，张角越大射门越有利。根据圆周角相关规律：同弧所对的角中，圆内角＞圆周角＞圆外角。观察图形可知，PQ为圆的弦，点A在圆外、点B在圆上、点C在圆内，我们只要判断三个张角分别属于哪类角，就能比较大小得到结论。
【解析】设三点对PQ的射门张角分别为∠PAQ、∠PBQ、∠PCQ：
1. ∠PBQ是弧PQ所对的圆周角，点B在圆周上；
2. 点A在圆外，∠PAQ是弧PQ所对的圆外角，根据性质，圆外角小于同弧所对的圆周角，因此$∠ PAQ ＜ ∠ PBQ$；
3. 点C在圆内，∠PCQ是弧PQ所对的圆内角，根据性质，圆内角大于同弧所对的圆周角，因此$∠ PCQ ＞ ∠ PBQ$。
综上可得$∠ PCQ ＞ ∠ PBQ ＞ ∠ PAQ$，即丙在C点的射门角度最大，应选择第三种射门方式。
【答案】三
【知识点】圆周角性质；圆内外角大小比较
【点评】本题结合足球射门的生活场景，考查了圆周角相关性质的实际应用，解题的核心是将射门问题转化为同弧所对角的大小比较问题，难度不大，贴合生活实际。
【难度系数】0.7

【分析】
解题思路：首先明确同一段弧所对的圆心角和圆周角的对应关系，对于图①、图②，已知$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角$∠ BOC$的具体度数，可直接利用二者的数量关系计算圆周角$∠ BAC$的度数；对于图③的一般情况，先根据圆的半径相等得到等腰$△ OAC$，再结合三角形内角和性质，推导得到$∠ BAC$和圆心角$∠ BOC$的数量关系，即可验证圆周角定理。
【解析】
1. 求图①中$∠ BAC$的度数：
图①中$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角$∠ BOC=90°$，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
2. 求图②中$∠ BAC$的度数：
图②中$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角$∠ BOC=120°$，同理可得$∠ BAC=\frac{1}{2}×120°=60°$。
3. 推导图③中$∠ BAC$的度数：
$\because OA$、$OC$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OC$，即$△ OAC$是等腰三角形，$\therefore ∠ BAC=∠ OCA$。
在$△ OAC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ AOC+∠ BAC+∠ OCA=180°$，代入$∠ OCA=∠ BAC$，得$∠ AOC+2∠ BAC=180°$，整理得$∠ BAC=\frac{180°-∠ AOC}{2}$。
又$\because AB$为$\odot O$的直径，$∠ BOC+∠ AOC=180°$，即$∠ AOC=180°-n°$，代入上式得：
$∠ BAC=\frac{180°-(180°-n°)}{2}=\frac{n°}{2}$，即$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
【答案】
图3-6①中$∠ BAC=45°$，图3-6②中$∠ BAC=60°$，图3-6③中$∠ BAC=\frac{1}{2}n°$，结论：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题遵循从特殊到一般的逻辑推导圆周角定理，既考查基础的角度计算能力，也帮助学生理解圆周角定理的推导过程，是圆中角度计算的基础题型，该定理是后续解决圆的综合问题的核心基础之一。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先回忆圆心角、圆周角的定义，再结合定义分析弧BC对应的角的数量：①圆心角的顶点必须是圆心，对于弧BC来说，符合条件的顶点只有圆心O，因此可直接判断圆心角的数量；②圆周角的顶点在圆上（且不与B、C重合），圆上除B、C外的点有无数个，只要顶点在这些点上、两边分别经过B、C就符合要求，因此可判断圆周角的数量。
【解析】
1. 求$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角数量：
根据圆心角的定义，顶点在圆心，两边都和圆相交的角是圆心角。$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角顶点只能是$\odot O$的圆心O，两边为OB、OC，只有∠BOC这1个，因此$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角有1个。
2. 求$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角数量：
根据圆周角的定义，顶点在圆上，且两边都和圆相交的角是圆周角。$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角只需满足顶点在$\odot O$上（不与B、C重合），两边分别经过B、C即可，圆上除B、C外有无数个点，可构造出无数个符合条件的圆周角，因此$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角有无数个。
【答案】
一，无数
【知识点】
1. 圆心角的定义
2. 圆周角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点区分圆心角和圆周角的顶点位置差异，掌握定义是解题的关键，要注意同弧所对的圆心角唯一、圆周角不唯一的特征。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时首先回忆圆心角、圆周角的定义：圆心角的顶点在圆心，两边与圆相交；圆周角的顶点在圆上，两边与圆相交。首先画$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角：顶点固定为圆心O，两边分别连接OB、OC即可。再画$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角：取圆上不与B、C重合的任意点A为顶点，连接AB、AC即可。随后改变点A在圆上的位置，观察圆心O与所画圆周角的位置关系，即可得出所有不同的位置情况，再对应画出图形即可。
【解析】
1. 画$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角：以O为顶点，作射线OB、OC，$∠ BOC$就是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角。
2. 画$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角：在$\odot O$上取异于B、C的点A，作射线AB、AC，$∠ BAC$就是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角。
3. 移动点A在$\odot O$上的位置，可得到圆心O与圆周角的3种不同位置关系：
① 圆心O在圆周角的内部；
② 圆心O在圆周角的边上；
③ 圆心O在圆周角的外部。
对应三种位置分别画出图形即可（图略）。
【答案】
图略。有三种情况：圆心O在圆周角的内部、在圆周角的边上、在圆周角的外部。
【知识点】
1. 圆心角的定义
2. 圆周角的定义
【点评】
本题是基础概念类作图题，主要考查对圆心角、圆周角定义的理解，渗透了分类讨论的思想，通过动手画图即可直观得出结论，是后续学习圆周角相关定理的基础。
【难度系数】
0.9

【分析】
要探索同弧所对的圆周角和圆心角的数量关系，需先按圆心与圆周角的位置关系分类讨论，保证不重不漏，共分为三种情况：圆心在圆周角的一条边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部。首先推导最简单的圆心在圆周角边上的情况，可借助等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角的性质直接得出结论；剩余两种相对复杂的情况，可通过作直径的辅助线，将待求的圆周角拆分为两个角的和或差，转化为已经证明的第一种情况，进而推导得出通用的数量关系。
【解析】
我们分三种位置关系推导同弧所对的圆周角和圆心角的数量关系：
1. 当圆心在圆周角的一条边上时：
设⊙O中，弧AB所对的圆周角为∠ACB，圆心O在边CB上。
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠ACB。
又
∵ ∠AOB是△AOC的外角，
∴ ∠AOB=∠A+∠ACB=2∠ACB，
即 $∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB$。
2. 当圆心在圆周角的内部时：
过点C作⊙O的直径CD，将∠ACB拆分为∠ACD+∠BCD。
由第一种情况的结论可得：
$∠ ACD = \frac{1}{2}∠ AOD$，$∠ BCD = \frac{1}{2}∠ BOD$，
∴ $∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = \frac{1}{2}(∠ AOD + ∠ BOD) = \frac{1}{2}∠ AOB$。
3. 当圆心在圆周角的外部时：
过点C作⊙O的直径CD，将∠ACB表示为∠ACD-∠BCD。
由第一种情况的结论可得：
$∠ ACD = \frac{1}{2}∠ AOD$，$∠ BCD = \frac{1}{2}∠ BOD$，
∴ $∠ ACB = ∠ ACD - ∠ BCD = \frac{1}{2}(∠ AOD - ∠ BOD) = \frac{1}{2}∠ AOB$。
综上可得：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
【答案】
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；三角形外角性质
【点评】
本题重点考察圆周角定理的推导过程，核心运用了分类讨论与转化的数学思想，需要明确三类位置关系的划分依据，掌握作直径将复杂情况转化为已知简单结论的辅助线作法，为后续圆周角相关性质的灵活应用打好基础。
【难度系数】
0.7