【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程变形为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，再用直接开平方法求解，通用解题步骤为：①化1：方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1；②移项：把常数项移到方程等号右侧；③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧整理为完全平方式；④开方求解：若等号右侧的常数非负，直接开平方得到两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根，本题4个小题均按此流程计算即可。
【解析】
(1) 解方程$3x^2 - 12x + 1 = 0$
第一步，二次项系数化为1：两边同除以3，得$x^2 - 4x + \frac{1}{3} = 0$
第二步，移项：$x^2 - 4x = -\frac{1}{3}$
第三步，配方：两边加一次项系数-4一半的平方4，得
$x^2 -4x +4 = -\frac{1}{3} +4$，即$(x-2)^2 = \frac{11}{3}$
第四步，开平方：$x-2 = \pm \sqrt{\frac{11}{3}} = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$
解得$x_1=2+\frac{\sqrt{33}}{3},x_2=2-\frac{\sqrt{33}}{3}$
(2) 解方程$4x^2 - 12x -1 =0$
第一步，二次项系数化为1：两边同除以4，得$x^2 -3x - \frac{1}{4}=0$
第二步，移项：$x^2 -3x = \frac{1}{4}$
第三步，配方：两边加一次项系数-3一半的平方$\frac{9}{4}$，得
$x^2 -3x + \frac{9}{4} = \frac{1}{4} + \frac{9}{4}$，即$(x-\frac{3}{2})^2 = \frac{10}{4}$
第四步，开平方：$x-\frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$
解得$x_1=\frac{3+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$
(3) 解方程$-2x^2 +x +1 =0$
第一步，二次项系数化为1：两边同除以-2，得$x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}=0$
第二步，移项：$x^2 - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$
第三步，配方：两边加一次项系数$-\frac{1}{2}$一半的平方$\frac{1}{16}$，得
$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = \frac{1}{2} + \frac{1}{16}$，即$(x-\frac{1}{4})^2 = \frac{9}{16}$
第四步，开平方：$x-\frac{1}{4} = \pm \frac{3}{4}$
解得$x_1=1,x_2=-\frac{1}{2}$
(4) 解方程$\frac{1}{2}x^2 -2x -1 =0$
第一步，二次项系数化为1：两边同乘2，得$x^2 -4x -2 =0$
第二步，移项：$x^2 -4x = 2$
第三步，配方：两边加一次项系数-4一半的平方4，得
$x^2 -4x +4 = 2 +4$，即$(x-2)^2 =6$
第四步，开平方：$x-2 = \pm \sqrt{6}$
解得$x_1=2+\sqrt{6},x_2=2-\sqrt{6}$
【答案】
(1) $x_1=2+\frac{\sqrt{33}}{3},x_2=2-\frac{\sqrt{33}}{3}$
(2) $x_1=\frac{3+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$
(3) $x_1=1,x_2=-\frac{1}{2}$
(4) $x_1=2+\sqrt{6},x_2=2-\sqrt{6}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，熟练掌握“化1、移项、配方、开方、求解”的固定流程是解题的核心，计算时要注意符号处理和根式化简，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决这道题，首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，包含“和的平方”“差的平方”两种形式。首先确定给定二次三项式的两个平方项：$4x^2$对应$(2x)^2$，常数项1对应$1^2$，接下来根据中间项等于$\pm$2倍两个平方项底数的乘积，建立关于m的方程，分两种情况求解即可，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵ 代数式$4x^2-(m+2)x+1$是完全平方式，
又
∵ $4x^2=(2x)^2$，$1=1^2$，
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，可得中间项满足：
$-(m+2)x = \pm 2× 2x × 1$
约去x后得：
$-(m+2) = \pm 4$
分两种情况计算：
① 当$-(m+2)=4$时，
$m+2=-4$，解得$m=-6$；
② 当$-(m+2)=-4$时，
$m+2=4$，解得$m=2$。
【答案】
2或-6
【知识点】
完全平方公式；一元一次方程求解
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构特征，易错点是容易只考虑其中一种完全平方形式，忽略正负两种情况导致漏解，解题时需注意分情况讨论。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）求解p和m的值，需先按照配方法的标准步骤将原方程变形为完全平方式等于常数的形式，再与题目给出的配方后式子$(x+m)^2=\frac{1}{2}$对比，让对应项的系数、常数分别相等，即可列方程求出p和m；（2）求方程的解时，将求出的m代入配方后的方程，用直接开平方法求解即可，注意开平方后有正负两个结果。
【解析】
（1）对原方程$2x^2 - 3x + p = 0$进行配方：
第一步，二次项系数化为1：两边同时除以2，得$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{p}{2} = 0$；
第二步，移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - \frac{3}{2}x = -\frac{p}{2}$；
第三步，配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-\frac{3}{2}$，一半为$-\frac{3}{4}$，平方为$\frac{9}{16}$，因此两边加$\frac{9}{16}$得：
$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = -\frac{p}{2} + \frac{9}{16}$，
左侧写成完全平方式为：$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{9 - 8p}{16}$。
已知配方结果为$(x+m)^2 = \frac{1}{2}$，对比可得：
$m = -\frac{3}{4}$，$\frac{9 - 8p}{16} = \frac{1}{2}$，
解$\frac{9 - 8p}{16} = \frac{1}{2}$：两边同乘16得$9 - 8p = 8$，移项得$8p = 1$，即$p = \frac{1}{8}$。
（2）将$m = -\frac{3}{4}$代入配方后的方程，得$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{1}{2}$，
两边直接开平方得：$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，
移项求解得：$x = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \pm 2\sqrt{2}}{4}$，
即$x_1 = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{4}$，$x_2 = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
（1）$p=\frac{1}{8},m=-\frac{3}{4}$
（2）$x_1=\frac{3+2\sqrt{2}}{4},x_2=\frac{3-2\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题核心考察配方法的规范应用，配方时需注意先将二次项系数化为1，再给等式两边同时加一次项系数一半的平方，开平方求解时不要遗漏负根，熟练掌握配方法步骤是解题的核心。
【难度系数】
0.75

【分析】
要判断小明的猜想是否正确，只需证明代数式$-2x^2 +4x -5$的取值恒小于0即可。对于含二次项的代数式，我们可以通过配方法将其转化为“常数+含完全平方式的项”的形式，再利用完全平方的非负性判断整个代数式的取值范围，即可验证猜想是否成立。
【解析】
我们对代数式$-2x^2 +4x -5$进行配方变形：
第一步，提取二次项系数：
$-2x^2 +4x -5 = -2(x^2 - 2x) -5$
第二步，对括号内的式子配方：
$x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x-1)^2 - 1$
代入原式得：
$\begin{aligned}-2(x^2 -2x) -5 &= -2[(x-1)^2 -1] -5 \\&= -2(x-1)^2 + 2 -5 \\&= -2(x-1)^2 -3\end{aligned}$
根据平方的非负性可知，对任意实数$x$，都有$(x-1)^2 ≥ 0$，
因此$-2(x-1)^2 ≤ 0$，
进而可得$-2(x-1)^2 -3 ≤ -3 ＜ 0$。
所以无论$x$取何值，代数式$-2x^2 +4x -5$的值都小于0，小明的猜想正确。
【答案】
正确，因为$-2x^2 + 4x -5=-2(x-1)^2-3＜0$，所以他的猜想正确
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，解题的核心是熟练掌握配方法的操作步骤，结合完全平方的非负性判断二次三项式的取值范围，这类题目也为后续学习二次函数的最值打下基础。
【难度系数】
0.7