1. 新趋势 探索规律 用计算器算一算。
$999999÷9=(\quad\quad\quad\quad)$
$1999998÷9=(\quad\quad\quad\quad)$
$2999997÷9=(\quad\quad\quad\quad)$
仔细观察上面的算式，根据发现的规律直接写出下面算式的得数。
$3999996÷9=(\quad\quad\quad\quad)$
$4999995÷9=(\quad\quad\quad\quad)$
$5999994÷9=(\quad\quad\quad\quad)$
答案：1. 111111 222222 333333 444444 555555 666666
解析：
【分析】
我们可以先借助计算器算出前3道算式的结果，再观察算式的变化规律：首先发现所有算式的除数都是9，被除数中间数位都是9，且被除数首位和末位的和为9；再对比商的特征，商都是由6个相同数字组成的数，且这个数字比被除数的首位数字大1，找到规律后就可以直接推导剩余算式的得数。
【解析】
首先计算前3道算式的结果：
$999999÷9=111111$
$1999998÷9=222222$
$2999997÷9=333333$
观察归纳规律：除数固定为9，被除数的首位数字依次加1、末位数字依次减1，商是6个相同数字组成的数，商的数字=被除数的首位数字+1。
根据规律计算剩余算式：
$3999996$的首位是3，$3+1=4$，故$3999996÷9=444444$
$4999995$的首位是4，$4+1=5$，故$4999995÷9=555555$
$5999994$的首位是5，$5+1=6$，故$5999994÷9=666666$
【答案】
111111 222222 333333 444444 555555 666666
【知识点】
找规律计算、除数是一位数的除法、整数除法运算
【点评】
本题需要先计算部分算式的结果，通过观察、归纳得出算式规律后再解题，能够有效锻炼观察归纳能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
2. 新素养 创新意识 利用图中的数，按照一定的顺序写出了下面的算式，观察每组算式的特点，计算出每组算式的结果。
你发现了什么？请按规律再写出一组这样的算式。
答案：2. 16665 16665 1666665 1666665
发现:每组算式中,3 个四位数相加的和都是 16665,3个六位数相加的和都是 1666665(合理即可)
算式不唯一,如 8515+3555+4595=16665
4535+9555+2575=16665
解析：
【分析】
解题时我们可以分三步思考：第一步，先根据整数加法的计算方法，依次算出每组算式的结果；第二步，对比每组算式的计算结果，观察结果的共同点，再反过来观察相加的几个数的数位特征，看相同数位上的数字之和有没有固定规律；第三步，按照找到的规律，凑出符合特征的三个数，写出新的算式即可。
【解析】
1. 计算结果：先计算第一组的两个三个四位数相加的算式，分别得出结果为16665、16665；再计算第二组的两个三个六位数相加的算式，分别得出结果为1666665、1666665。
2. 规律发现：观察计算结果可得，每组中3个四位数相加的和都是16665，3个六位数相加的和都是1666665；进一步观察加数特征可以发现：相加的几个数，相同数位上的三个数字之和都是15，相加时每一位满十进一，最终得到固定的和。
3. 写新算式：只要保证三个数相同数位上的数字之和为15即可，例如四位数的情况：千位数字和为15，百位数字和为15，十位数字和为15，个位数字和为15，计算可得和为16665，也可以写出其他符合规律的算式。
【答案】
16665 16665 1666665 1666665
发现:每组算式中,3 个四位数相加的和都是 16665,3个六位数相加的和都是 1666665(合理即可)
算式不唯一,如 8515+3555+4595=16665
4535+9555+2575=16665
【知识点】
整数加法计算、算式规律探究、巧算
【点评】
本题将计算与规律探究结合，既考查了基础的加法计算能力，又引导学生主动观察、总结数字特征，有助于提升数感和灵活运算的能力。
【难度系数】
0.7
3. 在0~9这十个数字中，任意选择五个数字，组成最大的五位数和最小的五位数，再用计算器算出它们的差。
如54321−12345=41976
97521−12579=84942
照样子再选一组，你发现了什么？
答案：3. 答案不唯一,如选 3,4,5,6,9 96543-34569=61974
发现:不管数字怎么变化,差的第一个数字和最后一个数字相加,和一定为 10,第二个数字和第四个数字相加,和一定为 8,第三个数字一定为 9(合理即可)
解析：
【分析】解题时可按以下步骤思考：①先从0~9中任选5个不同的数字，若选中0，组成最小五位数时注意0不能放在最高位；②要得到最大的五位数，将选中的5个数字按从大到小的顺序从高位到低位排列即可；要得到最小的五位数，将选中的5个数字按从小到大的顺序从高位到低位排列即可（若有0，需把最小的非0数字放在最高位，0放在次高位）；③用最大数减最小数计算出差；④多计算几组后，观察差的各个数位上数字的特点，总结出通用规律即可。
【解析】示例：我们选择3、4、5、6、9这五个数字：
1. 组成最大五位数：将数字从大到小排列，得到96543；
2. 组成最小五位数：将数字从小到大排列，得到34569；
3. 计算两数的差：96543 - 34569 = 61974。
多次尝试不同的5个数字计算后观察差的特征：可发现差的首位数字和末位数字相加和为10，第二位数字和第四位数字相加和为8，第三位数字恒为9。
【答案】
答案不唯一,如选 3,4,5,6,9 96543-34569=61974
发现:不管数字怎么变化,差的第一个数字和最后一个数字相加,和一定为 10,第二个数字和第四个数字相加,和一定为 8,第三个数字一定为 9(合理即可)
【知识点】
万级数的组成、整数减法运算、规律归纳探究
【点评】
本题结合了数的组成、整数计算与规律探究类内容，需要同学们先完成基础运算，再通过观察多组结果的共性归纳规律，能够有效锻炼运算能力和逻辑归纳能力。
【难度系数】
0.7
4. 先用计算器算出前三题的得数，再根据规律补全后面的算式。
19+9×9=
100
118+98×9=
1000
1117+987×9=
10000
图1
9876
11116+
111115
×9=
100000
+98765×9=
1000000
答案：4. 100 1000 10000 9876 100000 111115 1000000
解析：
【分析】
首先按照四则运算顺序计算出前3道算式的结果，再分别观察算式各部分的变化规律：①第一个加数：1的个数依次增加1个，末尾数字依次减1；②乘法中的第一个因数从9开始，依次在末尾加1个比前一位小1的数，位数逐题加1；③计算结果分别是100、1000、10000……，1后面0的个数比第一个加数的总位数少1。找到对应规律后，就可以直接推导填写后面算式的空缺部分。
【解析】
先计算前三道算式的结果：
1. $19+9×9=19+81=100$
2. $118+98×9=118+882=1000$
3. $1117+987×9=1117+8883=10000$
根据规律推导后续算式：
第4个算式第一个加数是11116，对应乘法的第一个因数是4位，即9876，结果是1后面带5个0，即100000，算式为$11116+9876×9=100000$
第5个算式乘法的第一个因数是98765（5位），对应第一个加数有5个1、末尾数字是5，即111115，结果是1后面带6个0，即1000000，算式为$111115+98765×9=1000000$
【答案】
100；1000；10000；9876；100000；111115；1000000
【知识点】
乘加混合运算；找规律计算；整数四则运算
【点评】
本题需要先通过基础计算得到参考结果，再观察归纳各部分的变化规律，利用规律简化复杂计算，能很好地锻炼观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
5. 观察下面两道算式，根据两个乘数与乘积之间的联系，直接写出其他算式的结果，并用计算器检验。
44×64=2816 23×83=1909
答案：5. 2625 2236 2809 2964 1881 2016 检验略
解析:像 44×64 和 23×83 这样的乘法算式,乘数的个位上的数相同,且十位上的数相加正好是 10,我们将这样的两个两位数称作“首补尾同”。“首补尾同”的两个两位数相乘,用两个乘数十位上的数相乘,再加上个位上的数,得到的结果作为乘积的前两位,用两个乘数个位上数的乘积作为乘积的后两位(若乘积不足两位,在乘积前面补 0),据此巧算即可。
解析：
【分析】
首先观察给出的示例算式的特点：44×64、23×83的两个乘数，个位数字相同，十位数字相加的和刚好是10，这类乘法叫做“首补尾同”的两位数乘法。再找积和乘数的关系：积的前半部分等于两个乘数十位数字相乘的积加上个位数字，积的后半部分等于两个乘数个位数字相乘的积，要是个位相乘的结果不足两位，就在前面补0凑成两位。把这个规律套用到要计算的算式里，就能快速得出结果，最后可以用计算器验算结果是否正确。
【解析】
我们先明确“首补尾同”两位数乘法的计算规则：
两个两位数相乘，若个位数字相同，十位数字相加和为10时：
1. 计算乘积的前两位：两个乘数十位上的数字相乘，再加上个位上的数字；
2. 计算乘积的后两位：两个乘数个位上的数字相乘，若结果不足两位，在前面补0。
我们逐个计算：
1. 计算35×75：十位3+7=10，个位都是5
前两位：$3×7+5=21+5=26$，后两位：$5×5=25$，结果为2625
2. 计算86×26：十位8+2=10，个位都是6
前两位：$8×2+6=16+6=22$，后两位：$6×6=36$，结果为2236
3. 计算53×53：十位5+5=10，个位都是3
前两位：$5×5+3=25+3=28$，后两位：$3×3=9$，补0为09，结果为2809
4. 计算78×38：十位7+3=10，个位都是8
前两位：$7×3+8=21+8=29$，后两位：$8×8=64$，结果为2964
5. 计算19×99：十位1+9=10，个位都是9
前两位：$1×9+9=9+9=18$，后两位：$9×9=81$，结果为1881
6. 计算24×84：十位2+8=10，个位都是4
前两位：$2×8+4=16+4=20$，后两位：$4×4=16$，结果为2016
最后可用计算器检验上述结果是否正确。
【答案】
2625；2236；2809；2964；1881；2016
【知识点】
1. 首补尾同乘法巧算
2. 找规律计算
3. 两位数乘法
【点评】
这道题侧重考查对算式规律的观察、归纳与应用能力，掌握这类巧算规律能够有效提升乘法计算的速度和正确率，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
