【分析】
我们知道十进制是“满10进1”，二进制是“满2进1”，把十进制数转成二进制数可以用“除2取余，倒序排列”的方法：把要转换的十进制数反复除以2，每次记录下余数，直到商变成0为止，最后把所有得到的余数从后往前倒着排列，就是对应的二进制数啦。
【解析】
我们用除2取余法计算25转二进制，步骤如下：
1. 25÷2=12，余数是1（这是二进制的最低位）
2. 12÷2=6，余数是0
3. 6÷2=3，余数是0
4. 3÷2=1，余数是1
5. 1÷2=0，余数是1（这是二进制的最高位）
将所有余数从最后一个到第一个倒序排列，得到1、1、0、0、1，对应二进制数就是(11001)₂。
【答案】
(11001)₂
【知识点】
进制基本概念 十进制转二进制
【点评】
本题是进制转换的基础题型，重点考察十进制转二进制的常用计算方法，只要熟练掌握“除2取余、倒序排列”的规则，就能快速准确求出结果。
【难度系数】
0.7

【分析】
我们可以参照题目给出的二进制转十进制的计算方法来解题：首先确定二进制数的位数，找到每一位从左到右对应的固定数值（最高位是2的“位数减1”次方，之后每往右一位数值减半，最后一位是1），再将每一位的数字和对应的固定数值相乘，最后把所有乘积相加，就能得到对应的十进制数。解题时先确定101011的位数，再匹配每一位对应的数值，最后按规则计算即可。
【解析】
二进制数101011是6位数，参照题例规则，从左到右每一位对应的固定数值依次是32、16、8、4、2、1，按规则列式计算：
$32×1 + 16×0 + 8×1 + 4×0 + 2×1 + 1×1$
$=32+0+8+0+2+1$
$=43$
【答案】
43
【知识点】
二进制与十进制换算、乘方的应用
【点评】
本题属于基础进制换算题，解题关键是读懂题中给出的换算规则，准确匹配每一位对应的数值，计算时仔细核对即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7

【分析】
这道题是“满七进一”的结绳计数问题，我们可以类比熟悉的十进制“满十进一”的规则来思考：十进制从右到左的数位分别对应10⁰、10¹、10²、10³……，同理满七进一的计数方式里，从右到左的每个绳位分别对应7⁰、7¹、7²、7³……。解题步骤如下：第一步先数出从右到左每根绳子上的结的数量，第二步把每个绳位的结数乘对应的7的幂次，第三步把所有结果相加就能得到总天数。
【解析】
首先观察绳子，从右到左数每根绳子的结数：
最右侧（对应7⁰位）：2个结；
右数第二根（对应7¹位）：4个结；
右数第三根（对应7²位）：3个结；
右数第四根（最左侧，对应7³位）：1个结。
根据“满七进一”的规则计算总天数：
$\begin{aligned}&1×7^3 + 3×7^2 + 4×7^1 + 2×7^0\\=&1×343 + 3×49 + 4×7 + 2×1\\=&343 + 147 + 28 + 2\\=&520\end{aligned}$
【答案】
520
【知识点】
进位制换算，结绳计数原理，整数四则运算
【点评】
本题结合古代“结绳记数”的数学文化背景，考查学生对进位制规则的理解和知识迁移能力，需要将已学的十进制计数规则类比应用到七进制计算中，兼顾了文化性和实用性。
【难度系数】
0.7

【分析】
我们先从题目给出的例子找规律，观察“00001=1、00010=2、00011=3、00101=5”的对应关系，可以发现：五位数从右往左数，第1位是1就加1，第2位是1就加2，第3位是1就加4，第4位是1就加8，第5位是1就加16，是0就不加，所有加起来的和就是对应的数值。第一问先确定每个○对应是1（点亮）还是0（熄灭），按规律求和即可；第二问先按规律计算11011的和，再把30拆成1、2、4、8、16中几个数的和，对应位置写1，其余写0就能得到二进制序列。
【解析】
首先总结规律：五位的0/1序列，从右往左每一位为1时分别对应数值1、2、4、8、16，总数值为所有为1的位对应数值的和。
（1）○○○○○中点亮的位置（对应1）是右数第1位和右数第4位，对应数值1和8，总和为8+1=9。
（2）① 计算“11011”的数值：从右往左看，第1位1（加1）、第2位1（加2）、第3位0（不加）、第4位1（加8）、第5位1（加16），总和=16+8+2+1=27。
② 把30拆成对应数值的和：30=16+8+4+2，对应右数第2、3、4、5位为1，第1位为0，从左往右写就是11110。
【答案】
(1) 9
(2) 27；11110
【知识点】
规律归纳，进制转换，位值原理
【点评】
本题需要先通过给出的示例归纳出计数规则，再运用规则解决问题，能够锻炼观察归纳能力和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
这是四进制加法竖式谜问题，解题按三步思考：①先明确四进制规则是满4进1，可用数字只有0、1、2、3，且不同字母代表不同数字；②两个三位数相加得到四位数，四位数的最高位只能是1，因此先确定B=1；③再从个位、十位、百位依次结合进位规则推导各字母的数值，最后对比选项判断对错即可。
【解析】
1. 确定B的取值：两个四进制三位数相加得到四位数，千位只能是1，因此$\boldsymbol{B=1}$，直接排除B选项。
2. 推导D的取值：百位相加向千位的进位就是和的千位B，因此进位$k_3=1$。百位运算关系为：$A + B + 十位进位k_2 = D + 4× k_3$，代入$B=1、k_3=1$得$A+1+k_2=D+4$。
四进制数字最大为3，A最大取3，代入得$3+1+k_2=D+4$，即$D=k_2$。$k_2$是十位向百位的进位，只能取0或1，又因为$D≠B=1$，因此$\boldsymbol{D=0}$、$k_2=0$，排除D选项。
3. 推导A的取值：把$D=0、k_2=0$代入百位运算式，得$A+1+0=0+4$，解得$\boldsymbol{A=3}$，排除A选项。
4. 推导C的取值：十位运算关系为$B + D + 个位进位k_1 = C + 4× k_2$，代入$B=1、D=0、k_2=0$得$1+0+k_1=C$。$k_1$是个位进位，只能取0或1，又因为$C≠B=1$，因此$k_1=1$，解得$\boldsymbol{C=2}$。
5. 验证个位：$C+C=2+2=4$，$D+4× k_1=0+4×1=4$，符合运算规则。
只有C选项描述正确。
【答案】
C
【知识点】
四进制加法、竖式数字谜
【点评】
本题核心考查进位制的加法规则，解题的突破口是先从最高位的进位确定特殊字母的数值，再结合进位规则和不同字母代表不同数字的限制，依次推导其余字母的数值，整体逻辑清晰，熟练掌握进位规则就能轻松解决。
【难度系数】
0.6

【分析】
我们首先要掌握十进制转其他进制的通用规则：十进制转k进制时，使用“除k取余，逆序排列”的方法。首先处理101转二进制：这里k=2，我们反复将数字除以2，每次记录余数，直到商为0，最后把得到的余数从最后一次到第一次倒序排列，就是对应的二进制数。再处理641转三进制：方法和转二进制完全一致，仅把除数换成3，反复除以3记录余数，商为0后逆序排列余数，就能得到三进制结果。计算时要注意准确记录每次的余数，最终排列不要搞反顺序。
【解析】
1. 十进制数101转二进制数：
$101÷2=50……1$
$50÷2=25……0$
$25÷2=12……1$
$12÷2=6……0$
$6÷2=3……0$
$3÷2=1……1$
$1÷2=0……1$
将余数逆序排列得1100101，即$\boldsymbol{(101)_{10}=(1100101)_2}$。
2. 十进制数641转三进制数：
$641÷3=213……2$
$213÷3=71……0$
$71÷3=23……2$
$23÷3=7……2$
$7÷3=2……1$
$2÷3=0……2$
将余数逆序排列得212202，即$\boldsymbol{(641)_{10}=(212202)_3}$。
【答案】
$(101)_{10}=(1100101)_2$；$(641)_{10}=(212202)_3$
【知识点】
1. 进制转换
2. 除基取余法
【点评】
本题是进制转换的基础应用类题目，核心是理解并迁移“除基数取余、逆序排列”的转换规则，解题时按步骤逐步计算，准确记录余数、注意最终排列顺序不颠倒即可得分。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先我们从题目给出的示例入手找规律：示例中数在第3、5张出现，结果为20，且20=16×1+4×1，由此可推出每张卡片对应一个固定的数值：第5张对应16，第3张对应4。再进一步验证可得其余卡片的对应值：第1张对应1，第2张对应2，第4张对应8。解题时只要把数出现的卡片对应的数值相加，就能得到所选的数。
【解析】
根据题意，先明确每张卡片对应的固定数值：
第1张对应1，第2张对应2，第3张对应4，第4张对应8，第5张对应16。
观众选的数在第2、3、5张出现，将这三张卡片对应的数值相加：
$2+4+16=22$
【答案】
22
【知识点】
找规律计算 整数加法 数字编码
【点评】
本题以趣味魔术为背景，考查学生观察归纳、应用规律的能力，只需从示例中总结出每张卡片对应的数值，再进行简单加法运算即可得出结果，题目趣味性强，能激发学生的探究兴趣。
【难度系数】
0.7