9. 魔术师说：“请你任想一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，将所得新数乘5，最后将得到的数加个位数字，只要告诉我计算结果，我就能知道你心里想的两位数.”请你解释这个魔术背后的数学道理.
答案：9. 设这个数为$\overline{ab}$,则计算结果为$(2a+3)×5+b=10a+b+15$,只要将结果减15,就得到$10a+b$,即为原来的两位数
解析：
【分析】
要解释这个魔术的数学原理，首先可以用字母分别表示出两位数的十位数字和个位数字，再按照魔术师描述的计算步骤列出对应的代数式，最后对代数式进行化简，观察计算结果和原两位数的数量关系，就能找到魔术的奥秘。其中两位数的表示为核心基础：若十位数字为a，个位数字为b，原两位数可表示为10a+b，再按运算顺序列式化简即可。
【解析】
设这个两位数的十位数字为a，个位数字为b，则原两位数为$10a+b$。
按照魔术师的要求逐步计算：
1. 十位数字乘2加3，得：$2a+3$
2. 将所得新数乘5，得：$5(2a+3)$
3. 加上个位数字b，最终结果为：$5(2a+3)+b$
对上述代数式化简：
$5(2a+3)+b=10a+15+b=(10a+b)+15$
由此可知，最终计算结果比原两位数大15，因此只要将计算结果减去15，就能得到原来的两位数。
【答案】
设这个数为$\overline{ab}$,则计算结果为$(2a+3)×5+b=10a+b+15$,只要将结果减15,就得到$10a+b$,即为原来的两位数
【知识点】
用字母表示数，整式的加减运算，代数式化简
【点评】
该魔术将趣味问题和整式运算结合，通过代数式化简就能直观得到计算结果和原数的固定数量关系，充分体现了数学的实用性和趣味性。
【难度系数】
0.7
10. (1) 如图①，正方形的每条边上都有n个棋子，图①中共有多少个棋子？
(2) 如图②，正五边形（五条边相等的五边形）的每条边上都有n个棋子，图②比图①多几个棋子？
(3) 正m边形（每条边都相等的m边形）的每条边上都有n个棋子，则共有多少个棋子？
答案：10. (1) $(4n-4)$个 (2) $5(n-1)$个 (3) $(mn-n)$个
解析：
【分析】
解决这类多边形边上摆放棋子的计数问题，核心是注意多边形顶点处的棋子为相邻两条边共有，若直接用“每条边棋子数×边数”计算，每个顶点的棋子会被重复计算1次，因此需要减去重复的顶点数量（等于多边形的边数）。
(1) 正方形有4条边、4个顶点，先计算4条边各n个棋子的总数量，再减去4个重复计数的顶点棋子即可得到结果；
(2) 正五边形有5条边、5个顶点，用同样的方法计算正五边形的总棋子数即可；
(3) 从正方形、正五边形的计算规律推广到正m边形，就能得到通用的棋子计数公式。
【解析】
(1) 正方形共4条边，若每条边按n个棋子计算，总数量为$4n$，此时4个顶点的棋子各多算了1次，共多算4个，因此实际棋子总数为：
$4n - 4$（个）
(2) 正五边形共5条边，若每条边按n个棋子计算，总数量为$5n$，此时5个顶点的棋子各多算了1次，共多算5个，因此正五边形的棋子总数为：
$5n - 5 = 5(n-1)$（个）
(3) 正m边形共m条边，若每条边按n个棋子计算，总数量为$mn$，此时m个顶点的棋子各多算了1次，共多算m个，因此实际棋子总数为：
$mn - m$（个）
注：参考答案第三问应为$mn-m$，此处按规律修正。
【答案】
(1) $\boxed{(4n-4)}$个
(2) $\boxed{5(n-1)}$个
(3) $\boxed{(mn-m)}$个
【知识点】
规律探究、列代数式、整式化简
【点评】
本题属于图形规律探究类基础题，解题关键是发现顶点处棋子重复计数的特点，掌握从特殊到一般的归纳方法，就能快速推导出通用结论。
【难度系数】
0.7
11. 课堂上，老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有代数式（已化简）的卡片，若两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功。甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙的卡片有一部分看不清楚了（图中阴影所示）。
（1）计算甲的代数式减乙的代数式的结果，并判断该运算能否使游戏成功；
（2）小明发现丙的代数式减甲的代数式可以使游戏成功，请求出丙的代数式。
答案：11. (1) 甲减乙得$\frac{5}{2}a^2+10ab-6$,丙为+12,所以不成功 (2) 丙:$\frac{3}{2}a^2-2ab+12$
解析：
【分析】
（1）第一问要判断甲减乙能否使游戏成功，需先按照整式减法的规则计算甲-乙的结果，再对比丙的代数式特征：丙的常数项为12，若计算结果与丙的代数式不相等则游戏不成功。（2）第二问已知丙-甲=乙，根据减法各部分的关系可得丙=甲+乙，将甲、乙的代数式相加，合并同类项即可求出丙的代数式。
【解析】
（1）计算甲的代数式减乙的代数式：
$\begin{aligned}&(2a^2 + 4ab + 3) - (-\frac{1}{2}a^2 - 6ab + 9)\\=&2a^2 + 4ab + 3 + \frac{1}{2}a^2 + 6ab - 9\\=&(2a^2 + \frac{1}{2}a^2) + (4ab + 6ab) + (3 - 9)\\=&\frac{5}{2}a^2 + 10ab - 6\end{aligned}$
已知丙的代数式常数项为$+12$，而计算结果的常数项为$-6$，二者不相等，因此该运算不能使游戏成功。
（2）由题意可知：$\mathrm{丙的代数式} - \mathrm{甲的代数式} = \mathrm{乙的代数式}$，因此$\mathrm{丙的代数式} = \mathrm{甲的代数式} + \mathrm{乙的代数式}$，代入计算：
$\begin{aligned}&(2a^2 + 4ab + 3) + (-\frac{1}{2}a^2 - 6ab + 9)\\=&2a^2 + 4ab + 3 - \frac{1}{2}a^2 - 6ab + 9\\=&(2a^2 - \frac{1}{2}a^2) + (4ab - 6ab) + (3 + 9)\\=&\frac{3}{2}a^2 - 2ab + 12\end{aligned}$
【答案】
(1) 甲减乙的结果为$\frac{5}{2}a^2+10ab-6$，该运算不能使游戏成功；(2) 丙的代数式为$\frac{3}{2}a^2-2ab+12$
【知识点】
整式的加减；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题结合游戏场景考查整式加减的应用，解题时需先根据题意正确列出运算式，计算过程中要注意去括号时的符号变化，合并同类项时准确辨别同类项再合并，避免因符号或计算失误出错。
【难度系数】
0.8
