【分析】
首先由勾股定理逆定理可判断△ABC是直角三角形，∠C=90°；再利用直角三角形斜边中线的性质得点P到三个顶点的距离，结合中位线性质求出点P到AC、BC的距离。接下来按半径r从小到大的顺序，结合直线与圆相离、相切、相交时d与r的大小关系，分情况讨论圆与三角形三边的公共点个数即可。
【解析】
解：
∵AC=4，BC=3，AB=5，
∴$AC^2+BC^2=3^2+4^2=25=AB^2$，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°。
∵点P是AB的中点，
∴$PA=PB=PC=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$。
过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，
∵P是AB中点，$PE// BC$，$PF// AC$，
∴PE、PF都是△ABC的中位线，
∴$PE=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}$，$PF=\frac{1}{2}AC=2$，即P到AC的距离为$\frac{3}{2}$，到BC的距离为2。
(1) 当$0＜r＜\frac{3}{2}$时：
P到AC、BC的距离均大于r，⊙P与AC、BC都相离，无公共点；
又圆心P在AB上，故⊙P与线段AB有2个公共点，总公共点个数为2。
(2) 当$r=\frac{3}{2}$时：
P到AC的距离等于r，⊙P与AC相切，有1个公共点；
P到BC的距离大于r，与BC相离，无公共点；
与AB有2个公共点，总公共点个数为3。
当$r=\frac{5}{2}$时：
$PA=PB=PC=r$，故⊙P过A、B、C三点，此时公共点仅为A、B、C三个，总公共点个数为3。
故$r=\frac{3}{2}$或$r=\frac{5}{2}$时，公共点个数为3。
(3) 当$\frac{3}{2}＜r＜2$时：
P到AC的距离小于r，⊙P与线段AC有2个公共点；
P到BC的距离大于r，与BC相离，无公共点；
与AB有2个公共点，总公共点个数为4。
【答案】
(1) $\boxed{0＜r＜\frac{3}{2}}$；(2) $\boxed{r=\frac{3}{2}}$或$\boxed{r=\frac{5}{2}}$；(3) $\boxed{\frac{3}{2}＜r＜2}$
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理逆定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的综合应用，解题关键是先求出圆心到三角形各边的距离，再结合线段的限制条件分情况讨论，注意不要漏了$r=\frac{5}{2}$的特殊情况。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时先结合已知条件回忆相关性质：首先根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得AD⊥AB，进而得到∠DAC与∠BAC互余；再根据直径所对的圆周角是直角，可得△ABC是直角三角形，∠B与∠BAC互余；最后利用同角的余角相等，即可推出∠DAC的度数等于∠B的度数。
【解析】
解：
∵AD是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴AD⊥AB，即∠DAB=90°，
∴∠DAC + ∠BAC = 90°。
又
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴在Rt△ABC中，∠B + ∠BAC = 90°。
根据同角的余角相等，可得∠DAC = ∠B，
∵∠B=35°，
∴∠DAC=35°。
【答案】
35
【知识点】
切线的性质；圆周角定理推论；余角的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线性质和圆周角定理的推论，通过互余关系推导角的等量关系，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先根据切线的性质，得到过切点的半径与切线垂直，即ON⊥MN，结合已知∠MNB的度数可求出∠ONB的度数；再根据同圆的半径相等得到ON=OB，可知△ONB为等腰三角形，进而得到∠OBN=∠ONB；最后利用三角形外角的性质即可求出∠NOA的度数。
【解析】
解：
∵MN是⊙O的切线，N为切点，
∴ON⊥MN，即∠ONM=90°，
∴∠ONB = ∠ONM - ∠MNB = 90° - 52° = 38°，
∵ON、OB均为⊙O的半径，
∴ON=OB，
∴∠OBN=∠ONB=38°，
∵∠NOA是△NOB的外角，
∴∠NOA=∠ONB + ∠OBN = 38° + 38° = 76°。
【答案】
$76°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆相关的基础计算题，核心考查切线性质的应用，只要熟练掌握切线与过切点半径垂直的性质，结合等腰三角形、三角形外角的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先从切线的性质入手：切线垂直于过切点的半径，可得直角三角形OAC，先求出圆心角∠AOC的度数；再结合同圆半径相等得到等腰△OBD，最后利用三角形外角的性质即可求出∠ABD的度数。核心思路是先通过切线构造直角求圆心角，再利用等腰三角形和外角性质推导所求角。
【解析】
1. 已知AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，因此$AB⊥ AC$，即$∠ OAC=90°$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$∠ C=40°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ AOC=180°-∠ OAC-∠ C=180°-90°-40°=50°$。
3. 因为OB、OD都是⊙O的半径，所以$OB=OD$，$△ OBD$为等腰三角形，因此$∠ ABD=∠ ODB$。
4. $∠ AOC$是$△ OBD$的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ AOC=∠ ABD+∠ ODB=2∠ ABD$。
5. 因此$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
25
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题的关键是熟练掌握切线性质、等腰三角形性质及外角定理的应用，通过圆心角作为中间量推导所求角的度数，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7

【分析】
要求切线长PQ，首先结合切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，我们可以通过连接MQ、PM构造直角三角形MQP。首先利用P、M两点的坐标求出PM的长度，再在直角三角形MQP中，已知斜边PM和直角边MQ（即圆的半径），即可用勾股定理求出PQ的长度。
【解析】
解：连接PM、MQ，
∵PQ是⊙M的切线，Q为切点，
∴MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，△MQP为直角三角形。
已知点P坐标为(0,2)，点M坐标为(3,0)，⊙M的半径MQ=1，
先计算PM的长度：
$PM=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$，
在Rt△MQP中，根据勾股定理可得：
$PQ^2+MQ^2=PM^2$，
代入数值计算得：
$PQ=\sqrt{PM^2-MQ^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-1^2}=\sqrt{13-1}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理；两点间距离计算
【点评】
本题是圆切线性质的基础应用题型，作辅助线构造直角三角形是解题的关键，整体解题思路清晰，属于圆章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先遵循切线类问题的常用辅助线思路，连接过切点C的半径OC，可直接得到OC与切线l垂直的直角关系；再利用同圆半径相等得到等腰△OAC，推出两底角相等，结合题目给出的∠BAC=∠CAD，可得到内错角相等进而判定AB与OC平行；最后由于AD是任意直径，需分AD与切线l平行、不平行两种情况讨论，结合不同特殊四边形的判定条件即可判断四边形ABCO的形状。
【解析】
证明：连接OC，
∵ 直线$l$切$\odot O$于点$C$，
∴ $OC⊥ l$，即$∠ OCB = 90°$。
∵ $OA$、$OC$都是$\odot O$的半径，
∴ $OA = OC$，
∴ $∠ CAD = ∠ ACO$。
又
∵ $∠ BAC = ∠ CAD$，
∴ $∠ BAC = ∠ ACO$，
∴ $AB // OC$。
① 当直径$AD$不与直线$l$平行时：
由$AB$与$AD$不在同一直线上，$AB// OC$，且$AO$与$BC$不平行，结合$∠ OCB = 90°$，可得四边形$ABCO$是直角梯形。
② 当直径$AD //$直线$l$时：
∵ $AB// OC$，$AO// BC$，
∴ 四边形$ABCO$是平行四边形，
又
∵ $∠ OCB = 90°$，$OC = OA$，
∴ 平行四边形$ABCO$是正方形。
【答案】
四边形$ABCO$是直角梯形或正方形
【知识点】
切线的性质，平行线的判定，特殊四边形的判定
【点评】
本题考查圆的性质与四边形判定的综合应用，解题关键是掌握切线问题的辅助线作法，同时要注意根据直径的位置分类讨论，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6