23. (6分)在物理中,沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动,叫作匀变速直线运动.在此运动过程中,每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数.例如,在一个时间段内,初速度为10米/秒,末速度为30米/秒,则这个时间段的平均速度为$\bar{v}=\frac{10+30}{2}=20$(米/秒).运动路程等于时间与平均速度的乘积(即$s=\bar{v}t$).若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动,并且均匀减速,5秒后小球停止运动.
(1) 小球的滚动速度平均每秒减少
2
米,从开始到滚动了t秒后小球的速度为
$10-2t$
米/秒;
(2) 小球从开始到滚动21米用了多少秒?
(3) 小球在最后一秒滚动了多少米?
答案：23. 解:(1) 根据题意得，小球的滚动速度平均每秒减少10÷5=2(米)；从开始到滚动了t秒后小球的速度为(10-2t)米/秒. (2) 根据题意得，$\frac{10+10-2t}{2}·t=21$，整理得，$t^2-10t+21=0$，解得$t_1=3,t_2=7$(不符合题意，舍去). 答:小球从开始到滚动21米用了3秒. (3) 根据题意得，$\frac{10-2×4+0}{2}×1=1$(米). 答:小球在最后一秒滚动了1米.
解析：
【分析】
(1) 已知小球初速度为10米/秒，5秒后速度降为0，且速度均匀减少，因此每秒减少的速度等于总减少的速度除以总时间；t秒后减少的速度为每秒减少量乘t，用初速度减去t秒内减少的速度，即可得到t秒后的速度。
(2) 根据题目给出的匀变速运动规律，路程=平均速度×时间，平均速度为对应时间段初、末速度的算术平均数，先表示出t秒时的末速度，代入路程公式列一元二次方程求解即可，注意小球5秒就停止运动，需舍去大于5的不符合实际的解。
(3) 最后一秒是指第4秒到第5秒的时间段，先求出第4秒末的速度，第5秒末速度为0，算出该时间段的平均速度后乘时间1秒，即可得到最后一秒的滚动路程。
【解析】
(1) 小球5秒内速度从10米/秒降到0，平均每秒减少的速度为：$10÷5=2$（米）；
t秒后小球减少的速度为$2t$米/秒，因此t秒后的速度为$(10-2t)$米/秒。
(2) 设小球从开始到滚动21米用了t秒，此时小球的速度为$(10-2t)$米/秒，
这段时间的平均速度为$\frac{10+(10-2t)}{2}$米/秒，根据路程公式列方程：
$\frac{10+10-2t}{2}·t=21$
整理得：$t^2-10t+21=0$
因式分解得：$(t-3)(t-7)=0$
解得$t_1=3$，$t_2=7$
由于小球5秒后就停止运动，因此$t=7$不符合题意，舍去。
(3) 最后一秒是第4秒到第5秒的时间段，第4秒末小球的速度为$10-2×4=2$（米/秒），第5秒末速度为0，
该时间段的平均速度为$\frac{2+0}{2}=1$（米/秒），因此最后一秒滚动的路程为$1×1=1$（米）。
【答案】
(1) $2$；$(10-2t)$
(2) $3$秒
(3) $1$米
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 列代数式
3. 行程问题计算
【点评】
本题结合物理匀变速直线运动的新定义背景出题，既考查了对新规则的理解能力，也考查了列代数式、解一元二次方程以及结合实际情境对解进行取舍的能力，准确掌握题目给出的平均速度、路程计算公式是解题的核心。
【难度系数】
0.7
24. (8分)【综合与实践】
在复习一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $时，张明同学整理、总结了3张资料卡片：
[卡片1]根的判别式：$ \Delta = b^2 - 4ac $。
[卡片2]求根公式：$ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} $。
[卡片3]一元二次方程有两个相等的实数根，有时也可以理解为：只存在未知数的一个值满足方程。
(1) 结合[卡片1][卡片2]的内容，完成[任务1]：
设 $ x_1, x_2 $ 是方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $的两个实数根。
求证：$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, x_1 · x_2 = \frac{c}{a} $；
(2) 利用[任务1]中的结论，完成[任务2]：
设 $ x_1, x_2 $ 是方程 $ x^2 - 8x + m = 0 $的两个实数根。
① 若 $ m = -1 $，则 $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \_\_\_\_\_\_ $；
② 若 $ x_2 = 3x_1 $，则 $ m = \_\_\_\_\_\_ $；
(3) 根据以上内容，完成[任务3]：
有三个实数 $ x_1, x_2, x_3 $ 都满足关于 $ x $ 的方程 $ |x^2 + ax + b| = 2 $，其中 $ a, b $ 为常数，且 $ x_1 ≠ x_2 ≠ x_3, x_1 + x_2 + x_3 = 6 $。求证：$ x_1, x_2, x_3 $ 中必有一个值为2。
答案：24. 解: (1) 证明:对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，由求根公式，得$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，
∴ $x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$，$x_1·x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{(-b)^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$. (2)
∵ $x_1,x_2$是一元二次方程$x^2-8x+m=0$的两个实数根，由(1)韦达定理可得，$x_1+x_2=8,x_1x_2=m$. ① 若m=-1:$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{8}{-1}=-8$；② 若$x_2=3x_1$:
∵ $x_1+x_2=8$，代入$x_2=3x_1$，
∴ $x_1+3x_1=8$，解得$x_1=2,x_2=6$，
∴ $m=x_1·x_2=2×6=12$. (3) 证明:由原方程得，$x^2+ax+b-2=0$ ①，$x^2+ax+b+2=0$ ②，两个方程的判别式分别为Δ₁=a²-4b+8，Δ₂=a²-4b-8.
∵ 有三个不相等实数$x_1,x_2,x_3$都满足关于x的方程$|x^2+ax+b|=2$，
∴ 方程①②中一定是:一个方程有两个不相等实数根，另一个方程有两个相等实数根，即Δ₁,Δ₂中必有一个大于0，一个等于0，比较Δ₁,Δ₂，显然Δ₁＞Δ₂，
∴ Δ₁＞0，Δ₂=0，即$a^2-4b-8=0$，
∴ $b=\frac{1}{4}(a^2-8)$. 把$b=\frac{1}{4}(a^2-8)$分别代入方程①，②中，得$x^2+ax+\frac{1}{4}(a^2-16)=0$ ③，$x^2+ax+\frac{1}{4}a^2=0$，即$(x+\frac{1}{2}a)^2=0$ ④，设方程③的两根为$x_1,x_2$，方程④的根为$x_3$，则$x_1+x_2=-a$，$x_3=-\frac{1}{2}a$. (方程④的两根均为$-\frac{1}{2}a$)又
∵ $x_1+x_2+x_3=6$，
∴ $-a-\frac{1}{2}a=6$，解得a=-4，
∴ $x_3=-\frac{1}{2}a=-\frac{1}{2}×(-4)=2$，故$x_1,x_2,x_3$中必有一个值为2.
解析：
【分析】
1. 任务1证明一元二次方程根与系数的关系：直接利用给出的求根公式写出两个根的表达式，分别计算两根之和与两根之积，通过代数化简消去根号项，即可得到要证的结论。
2. 任务2是韦达定理的应用：先根据给定方程直接写出两根之和与两根之积的表达式，①小问将待求分式通分，转化为用两根和、两根积表示的形式，代入m=-1即可计算结果；②小问结合x₂=3x₁和两根之和为8，先求解出两个根的具体值，再计算两根之积得到m的值。
3. 任务3先将绝对值方程拆分为两个一元二次方程，结合“有三个不等实数满足方程”的条件，可知两个方程中一个有两个不等实根、另一个有两个相等实根（对应卡片3中“只存在未知数的一个值满足方程”的结论），通过比较两个方程的判别式确定有重根的方程，再分别写出两个方程的根的和、重根的值，结合三根总和为6求出参数a，即可得到重根为2，完成证明。
【解析】
(1) 证明：对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，由求根公式得：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
∴ $x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$
$x_1·x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{(-b)^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$，得证。
(2) 解：
∵ $x_1,x_2$是一元二次方程$x^2-8x+m=0$的两个实数根，由(1)的结论可得：$x_1+x_2=8, x_1x_2=m$
① 当$m=-1$时，$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{8}{-1}=-8$
② 当$x_2=3x_1$时，代入$x_1+x_2=8$得：$x_1+3x_1=8$，解得$x_1=2, x_2=6$
∴ $m=x_1·x_2=2×6=12$
(3) 证明：由$|x^2 + ax + b| = 2$可得两个一元二次方程：
$x^2+ax+b-2=0$ ①，$x^2+ax+b+2=0$ ②
两个方程的判别式分别为：$\Delta_1=a^2-4(b-2)=a^2-4b+8$，$\Delta_2=a^2-4(b+2)=a^2-4b-8$
∵ 有三个不相等的实数$x_1,x_2,x_3$满足原方程，结合卡片3结论可知，方程①②中一个有两个不等实根，另一个有两个相等实根，即$\Delta_1、\Delta_2$中一个大于0，一个等于0，显然$\Delta_1＞\Delta_2$，故$\Delta_1＞0，\Delta_2=0$
∴ $a^2-4b-8=0$，解得$b=\frac{1}{4}(a^2-8)$
将$b$代入方程①得：$x^2+ax+\frac{1}{4}(a^2-16)=0$ ③，代入方程②得：$x^2+ax+\frac{1}{4}a^2=0$，即$(x+\frac{1}{2}a)^2=0$ ④
设方程③的两根为$x_1,x_2$，方程④的重根为$x_3$，则由韦达定理得$x_1+x_2=-a$，$x_3=-\frac{1}{2}a$
∵ $x_1+x_2+x_3=6$，代入得：$-a-\frac{1}{2}a=6$，解得$a=-4$
∴ $x_3=-\frac{1}{2}×(-4)=2$，即$x_1,x_2,x_3$中必有一个值为2，得证。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) ① $\boldsymbol{-8}$；② $\boldsymbol{12}$；(3) 证明见解析，结论成立。
【知识点】
韦达定理，根的判别式，绝对值方程化简
【点评】
本题围绕一元二次方程核心知识设置，梯度清晰，既考查了基础公式的推导与简单应用，又考查了分类讨论、转化的数学思想，能有效检验对一元二次方程相关知识的综合运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
