25. (8分)阅读下列材料:
问题:已知方程$x^2 + x - 1 = 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为$y$,则$y = 2x$,所以$x = \frac{y}{2}$,把$x = \frac{y}{2}$代入已知方程,得$(\frac{y}{2})^2 + \frac{y}{2} - 1 = 0$.
化简,得$y^2 + 2y - 4 = 0$,
故所求方程为$y^2 + 2y - 4 = 0$.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式):
(1)已知方程$x^2 + 2x - 1 = 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为
$y^2-2y-1=0$
;
(2)已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.
解析：
【分析】
本题核心是利用材料给出的“换根法”求解新方程，解题思路如下：1. 先建立新方程的根与原方程根的对应关系，用新方程的根表示原方程的根；2. 将表示后的原根代入已知方程，化简整理得到新方程；3. 注意题干的限制条件，比如第二问中原方程的根不为0，推导时要排除不符合条件的情况。
（1）中新根是原根的相反数，因此设新根为y，则y=-x，即x=-y，代入原方程化简即可；（2）中新根是原根的倒数，设新根为y，则y=1/x（x≠0），即x=1/y，代入原方程后结合原根不为0的条件整理即可。
【解析】
(1) 设所求方程的根为$y$，根据题意新根是原方程根的相反数，可得$y=-x$，即$x=-y$。
将$x=-y$代入已知方程$x^2+2x-1=0$，得：
$(-y)^2 + 2×(-y) -1 = 0$
化简得：$y^2 - 2y -1 = 0$，即为所求方程。
(2) 设所求方程的根为$y$，根据题意新根是原方程根的倒数，可得$y=\frac{1}{x}$（$x≠0$，原方程根不为0），即$x=\frac{1}{y}$（$y≠0$）。
将$x=\frac{1}{y}$代入原方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，得：
$a·(\frac{1}{y})^2 + b·(\frac{1}{y}) + c = 0$
两边同乘$y^2$去分母得：$a + by + cy^2 = 0$
若$c=0$，则原方程为$ax^2+bx=0$，即$x(ax+b)=0$，有一个根为$x=0$，与题干“两个不等于零的实数根”矛盾，因此$c≠0$。
整理为一元二次方程一般形式为：$cy^2 + by + a = 0(c≠0)$，即为所求方程。
【答案】
(1) $y^2 - 2y - 1 = 0$；(2) $cy^2 + by + a = 0(c≠0)$
【知识点】
换根法应用，一元二次方程的根，一元二次方程一般形式
【点评】
本题属于材料阅读类题型，重点考查对新方法的理解和迁移应用能力，解题的关键是准确梳理新、旧方程根的对应关系，化简时要结合题干给出的限制条件验证结果的合理性，避免漏看约束条件导致错误。
【难度系数】
0.7
