1. 下列函数中，是二次函数的是 （
D
）
A.$y=x+2$
B.$y=\dfrac{2}{x^2}$
C.$y=(2x-1)^2 -4x^2$
D.$y=2-3x^2$
答案：1. D.
解析：
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次函数的核心判定标准：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，需要同时满足三个条件：①函数表达式右边是关于$x$的整式；②自变量$x$的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时只需逐个对照选项验证条件，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们根据二次函数的判定标准逐一分析选项：
选项A：$y=x+2$中自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$y=\dfrac{2}{x^2}$的分母中含有自变量$x$，不是整式，不符合二次函数的要求，排除；
选项C：先对表达式化简：$y=(2x-1)^2 -4x^2=4x^2-4x+1-4x^2=-4x+1$，化简后自变量最高次数为1，属于一次函数，不符合要求，排除；
选项D：$y=2-3x^2$可整理为$y=-3x^2+0x+2$，二次项系数$-3≠0$，自变量最高次数为2，且表达式为整式，完全符合二次函数定义。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的概念；整式的化简
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记二次函数的定义，注意要先对复杂的函数式化简后再判断次数，同时要注意函数表达式必须是整式，避免误选化简后无二次项的C或含分式的B。
【难度系数】
0.9
2. 已知二次函数$y=-x^2 + x + 2$，自变量$x$的取值范围是
一切实数
.
答案：2. 一切实数.
解析：
【分析】
确定函数自变量的取值范围，需从两个角度思考：一是保证函数表达式有意义，二是若函数有实际背景还需符合实际要求。首先观察给定的二次函数表达式，其右侧是整式，整式对任意实数都有意义；其次本题未给出函数对应的实际应用场景，无需额外限制x的取值，因此可直接判断x的取值范围。
【解析】
解：确定函数自变量取值范围时，首先判断表达式的类型：
二次函数$y=-x^2 + x + 2$的解析式为整式，整式在全体实数范围内都有意义，且题目没有附加实际应用类的限制条件，因此自变量x可以取任意实数。
【答案】
一切实数
【知识点】
函数自变量取值范围确定；二次函数的概念
【点评】
本题是基础题，主要考查整式型函数自变量取值范围的判断，只要明确无特殊限制的整式函数自变量可取全体实数，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.95
3. 二次函数$y=ax^2$中，当$x=1$时，$y=2$，则$a=$
2
。
答案：3. 2.
解析：
【分析】
本题是已知二次函数上一组对应x、y的值求参数的基础题，解题思路为：函数图象上的点的坐标一定满足对应的函数解析式，因此只需将已知的x、y取值代入二次函数解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
将$x=1$，$y=2$代入二次函数$y=ax^2$中，可得：
$2=a×1^2$
计算得$1^2=1$，因此化简后得到$a=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的概念；代入法求参数
【点评】
本题是二次函数的入门基础题，核心考查代入法的应用，只要理解函数图象上的点的坐标符合对应函数解析式，就能快速完成解答。
【难度系数】
0.9
4. 边长为8 cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x cm的小正方形铁片，则剩下的四方框铁片的面积$y(\mathrm{cm}^2)$与$x(\mathrm{cm})$之间的函数关系式为
$y=64-x^2$
。
答案：4. $y=64-x^2$.
解析：
【分析】
要解决这个问题，首先需明确剩下的四方框铁片的面积计算逻辑：剩余面积=原大正方形的面积-剪去的小正方形的面积。第一步先根据正方形面积公式分别计算出大、小正方形的面积，第二步将两个面积作差，即可得到y与x的函数关系式，同时注意x的取值需符合实际意义，即x大于0且小于8cm。
【解析】
解：已知原正方形铁片的边长为8 cm，根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为边长），可得原大正方形的面积为：
$S_{\mathrm{大}}=8×8=64\ \mathrm{cm}^2$
剪去的小正方形边长为$x\ \mathrm{cm}$，则小正方形的面积为：
$S_{\mathrm{小}}=x^2\ \mathrm{cm}^2$
剩下的四方框铁片的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，因此可得：
$y = S_{\mathrm{大}}-S_{\mathrm{小}}=64 - x^2$（$0＜x＜8$）
【答案】
$y=64-x^2$
【知识点】
正方形面积计算；根据实际问题列二次函数关系式
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是准确找到剩余面积和两个正方形面积的数量关系，结合正方形面积公式即可快速列式，难度较低。
【难度系数】
0.9
5. 把函数$y=(2+x)(1-x)$化成一般式为
$y=-x^2-x+2$
，其中二次项的系数是
$-1$
，一次项的系数是
$-1$
，常数项是
$2$
。
答案：5. $y=-x^2-x+2$；$-1$；$-1$；$2$.
解析：
【分析】
解题首先要明确二次函数一般式的结构为$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，$a\ne0$），因此第一步需要先将等号右侧的多项式乘积展开，再合并同类项，按$x$的降幂排列得到一般式；之后对应定义识别各项系数即可，注意系数要包含项前面的正负符号，不能仅提取数字部分。
【解析】
先对函数表达式展开化简：
$\begin{aligned}y&=(2+x)(1-x)\\&=2×1 + 2×(-x) + x×1 + x×(-x)\\&=2-2x+x-x^2\end{aligned}$
合并同类项后得到一般式：$y=-x^2-x+2$
根据定义：
二次项为$-x^2$，对应系数为$-1$；
一次项为$-x$，对应系数为$-1$；
常数项为不含字母的项，即$2$。
【答案】
$y=-x^2-x+2$；$-1$；$-1$；$2$
【知识点】
多项式乘法运算，二次函数一般式，整式项的系数识别
【点评】
本题属于基础题型，重点考查整式运算和二次函数的基础概念，解题时要注意多项式乘法的符号规则，识别各项系数时需要连带项前的正负号，避免因符号遗漏出现错误。
【难度系数】
0.9
问题 如图,用长为 30 m 的篱笆围一个矩形花圃.设垂直于墙的一边长为x m,矩形的面积为y m².
(1) 写出 y 关于 x 的函数关系式.
(2) 当 x=3 时,矩形的面积为多少平方米?
(3) 求自变量 x 的取值范围.
名师指导
(1) 矩形的面积=长×宽,这里设垂直于墙的一边长为 x m,关键是求出平行于墙的一边长为(30−2x) m.
(2) 当 x=3 时,求矩形的面积,就是已知自变量 x 的值,利用(1)中的函数关系式求对应的函数值.
(3) 在有关几何面积的问题中,边长都是大于零的,从而得 x＞0,30−2x＞0.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
答案：解：
(1) 由题意可知，平行于墙的一边长为$(30-2x)\ \mathrm{m}$，
根据矩形面积公式，得
$y = x(30-2x) = -2x^2 + 30x$，
即$y$关于$x$的函数关系式为$\boldsymbol{y=-2x^2+30x}$。
(2) 把$x=3$代入$y=-2x^2+30x$，得：
$y = -2× 3^2 + 30× 3 = -18 + 90 = 72$，
答：矩形的面积为72平方米。
(3) 由矩形的实际边长为正数，可得：
$\begin{cases}x ＞ 0 \\30 - 2x ＞ 0\end{cases}$
解$30-2x＞0$得$x＜15$，
因此自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{0 ＜ x ＜ 15}$。
解析：
【分析】
(1) 推导y关于x的函数关系式时，先明确篱笆仅围矩形的3条边：2条垂直于墙的边、1条平行于墙的边。已知垂直于墙的边长为x m，总篱笆长30m，因此平行于墙的边长为$(30-2x)\ \mathrm{m}$，再结合矩形面积=长×宽的公式，即可列出函数关系式。
(2) 求x=3时的矩形面积，属于已知自变量的值求对应函数值，直接将x=3代入第(1)问得到的函数关系式计算即可。
(3) 求自变量x的取值范围要结合实际几何意义：矩形的边长必须为正数，因此垂直于墙的边长$x＞0$，平行于墙的边长$30-2x＞0$，解该不等式组即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 由题意可知，平行于墙的一边长为$(30-2x)\ \mathrm{m}$，根据矩形面积公式可得：
$y = x(30-2x) = -2x^2 + 30x$
即y关于x的函数关系式为$y=-2x^2+30x$。
(2) 将$x=3$代入$y=-2x^2+30x$中计算：
$y = -2× 3^2 + 30× 3 = -18 + 90 = 72$
因此当x=3时，矩形面积为72平方米。
(3) 结合矩形边长为正数的实际要求，可列不等式组：
$\begin{cases}x ＞ 0 \\30 - 2x ＞ 0\end{cases}$
解不等式$30-2x＞0$，得$x＜15$，结合$x＞0$，因此自变量x的取值范围是$0 ＜ x ＜ 15$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x^2+30x}$
(2) 72平方米
(3) $\boldsymbol{0 ＜ x ＜ 15}$
【知识点】
二次函数实际应用，代入法求函数值，自变量取值范围确定
【点评】
本题结合矩形围建的实际场景，考查二次函数关系式的建立、函数值求解以及实际问题中自变量范围的确定，解题时要注意几何图形边长为正的隐含条件，属于基础题型，核心是理清题意找对等量关系。
【难度系数】
0.8
