一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50 km/h的平均速度从甲地出发，则经过6 h可到达乙地.
（1）甲、乙两地相距多少千米？
（2）如果汽车把速度提高到v(km/h)，那么从甲地到乙地所用时间t(h)将怎样变化？
（3）写出t与v之间的函数解析式；
（4）因某种原因，这辆汽车需在5 h内从甲地到达乙地，则此时汽车平均速度至少应是多少？
（5）已知汽车的平均速度最大可达80 km/h，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间？
答案：(1) $300\ \mathrm{km}$；(2) $t$ 随 $v$ 的增大而减小；(3) $t=\frac{300}{v}$；(4) $60\ \mathrm{km/h}$；(5) $3.75\ \mathrm{h}$
解析：
【分析】
解题思路可按小问依次梳理：
1. 第一问属于基础行程计算，直接利用“路程=速度×时间”的公式代入已知数值即可求出甲乙两地距离；
2. 第二问根据路程为定值的前提，结合反比例关系的性质，即可判断速度v增大时时间t的变化趋势；
3. 第三问由行程公式变形，代入第一问求出的路程，即可得到t与v的函数解析式，注意速度v为正数，取值符合实际意义即可；
4. 第四问将“5h内到达”转化为不等式$t≤5$，代入函数解析式解不等式即可求出速度的最小值；
5. 第五问已知最大速度，直接代入函数解析式即可求出最短时间。
【解析】
解：
（1）根据行程公式$s=vt$，已知速度$v=50\ \mathrm{km/h}$，时间$t=6\ \mathrm{h}$，代入得：
$s=50×6=300\ \mathrm{km}$
（2）由甲乙两地路程固定为$300\ \mathrm{km}$，可得$vt=300$，即t与v成反比例关系，因此当速度v提高时，所用时间t会随v的增大而减小。
（3）由$vt=300$，变形可得t与v的函数解析式为：
$t=\frac{300}{v}\quad(v＞0)$
（4）由题意需满足$t≤5$，将$t=\frac{300}{v}$代入得：
$\frac{300}{v}≤5$
$\because v＞0$，不等式两边同时乘v，不等号方向不变：
$300≤5v$
解得$v≥60$，即平均速度至少为$60\ \mathrm{km/h}$。
（5）已知最大速度$v=80\ \mathrm{km/h}$，代入$t=\frac{300}{v}$得：
$t=\frac{300}{80}=3.75\ \mathrm{h}$，即最快需要3.75h。
【答案】
(1) $300\ \mathrm{km}$；(2) $t$ 随 $v$ 的增大而减小；(3) $t=\frac{300}{v}$；(4) $60\ \mathrm{km/h}$；(5) $3.75\ \mathrm{h}$
【知识点】
反比例函数应用；行程问题公式；一元一次不等式求解
【点评】
本题结合生活中的行程场景考查函数与不等式的应用，解题的关键是明确路程为定值，熟练掌握反比例函数的性质，能根据题意建立函数关系并结合不等式求解实际限制条件下的最值，整体注重基础应用，和生活联系紧密。
【难度系数】
0.8
问题 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场销售中发现此商品的日销售单价$ x(x＞2) $（元）与日销售量$ y $（个）之间有如下关系：
(1) 根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对$ (x,y) $的对应点；
(2) 猜测并确定$ y $与$ x $之间的函数解析式，并画出图象；
(3) 设此贺卡的销售利润为$ W $元，试求出$ W $与$ x $之间的函数解析式.若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价$ x $定为多少元时，才能获得最大日销售利润？
名师指导
根据题目中所给表格中的数据，把单价$ x $（元）与日销售量$ y $（个）分别看作点的横、纵坐标，可在平面直角坐标系中描出各点并连线，由此看出它们之间是反比例函数关系，并通过待定系数法可求出函数解析式.第(3)问，可根据反比例函数的图象和性质，同时联系题目中的实际要求，求出可获得最大日销售利润的销售单价.
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
答案：解：
(1) 在平面直角坐标系中，依次描出点$(3,20)$、$(4,15)$、$(5,12)$、$(6,10)$即可。
(2) 由表中数据可知：$3×20=4×15=5×12=6×10=60$，猜测$y$与$x$是反比例函数关系。
设$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞2)$，将$x=3$，$y=20$代入解析式，得$20=\frac{k}{3}$，解得$k=60$。
将其余各点代入$y=\frac{60}{x}$验证，均满足该式，因此$y$与$x$的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{60}{x}(x＞2)}$。
在平面直角坐标系的第一象限内$x＞2$的区域，画出该反比例函数的图象即可。
(3) 由题意，单个贺卡的利润为$(x-2)$元，总日销售利润$W=(x-2)· y$。
将$y=\frac{60}{x}$代入得：
$W=(x-2)·\frac{60}{x}=60-\frac{120}{x}$
由题意知$2＜x≤10$，在函数$W=60-\frac{120}{x}$中，$-120＜0$，因此当$2＜x≤10$时，$W$随$x$的增大而增大。
所以当$x=10$时，$W$取得最大值。
答：当日销售单价$x$定为10元时，才能获得最大日销售利润。
解析：
【分析】
(1) 第一问为描点问题，将表格中每组x值作为横坐标、对应y值作为纵坐标，在平面直角坐标系中找到对应位置标记即可。
(2) 先观察表格数据，计算每组x与y的乘积，发现乘积恒定，因此猜测y与x成反比例函数关系；设反比例函数一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，代入一组数据求出k值，再用其余数据验证是否满足解析式，确认解析式后，在x＞2的第一象限区域画出函数图象即可。
(3) 销售利润=单个商品利润×日销售量，单个贺卡利润为售价x减去进价2元，日销售量为y，将已求出的y关于x的解析式代入，即可得到W与x的函数解析式；再结合自变量x的取值范围$2＜x≤10$，分析W随x的变化规律，即可找到利润最大时对应的x值。
【解析】
(1) 在平面直角坐标系中，依次描出点$(3,20)$、$(4,15)$、$(5,12)$、$(6,10)$即可。
(2) 观察表中数据可得：$3×20=4×15=5×12=6×10=60$，即x与y的乘积为定值，因此猜测$y$与$x$是反比例函数关系。
设$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞2)$，将$x=3$，$y=20$代入解析式，得$20=\frac{k}{3}$，解得$k=60$。
将剩余三组数据分别代入$y=\frac{60}{x}$验证，均满足该式，因此$y$与$x$的函数解析式为$y=\frac{60}{x}(x＞2)$。
在平面直角坐标系第一象限内$x＞2$的区域，画出该反比例函数的图象即可。
(3) 由题意可知，单个贺卡的销售利润为$(x-2)$元，日销售总利润$W=$单个利润×日销售量，即$W=(x-2)·y$。
将$y=\frac{60}{x}$代入上式得：
$W=(x-2)·\frac{60}{x}=60-\frac{120}{x}$
根据题意，售价最高不超过10元/个，因此自变量取值范围为$2＜x≤10$。
在函数$W=60-\frac{120}{x}$中，$\frac{120}{x}$随x的增大而减小，因此$-\frac{120}{x}$随x的增大而增大，即W随x的增大而增大。
所以当$x=10$时，W取得最大值。
【答案】
(1) 对应点为$(3,20)$、$(4,15)$、$(5,12)$、$(6,10)$，按坐标描点即可；
(2) $y$与$x$的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{60}{x}(x＞2)}$，图象为第一象限$x＞2$区域的反比例函数曲线；
(3) $W$与$x$的函数解析式为$\boldsymbol{W=60-\frac{120}{x}(2＜x≤10)}$，当日销售单价定为10元时，可获得最大日销售利润。
【知识点】
反比例函数解析式求解，销售利润计算，函数单调性应用
【点评】
本题结合实际销售场景考查反比例函数的应用，需要熟练掌握描点法、待定系数法求函数解析式的方法，同时要注意结合自变量的实际取值范围，利用函数的单调性求解最值问题，解题时要贴合实际情况，不能忽略取值限制。
【难度系数】
0.7
