6. 一场暴雨过后,一洼地存雨水 $20\ \mathrm{m}^3$,如果将雨水全部排完需 $t\ \mathrm{min}$,排水量为 $a\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}$,且排水时间为 $5∼10\ \mathrm{min}$.
(1) 试写出 $t$ 与 $a$ 的函数解析式,并指出 $a$ 的取值范围；
(2) 请画出函数图象；
(3) 根据图象回答:当排水量为 $3\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}$ 时,排水的时间需要多长？
答案：6. (1) $t=\frac{20}{a}(2≤ a≤ 4)$；(2) 图象略；(3) $\frac{20}{3}\ \mathrm{min}$
解析：
【分析】
要解决这道题，首先利用排水总量等于排水量与时间的乘积建立函数关系，再结合排水时间的范围求排水量的取值范围；画函数图象时注意自变量的取值范围；最后代入排水量求对应时间。
步骤1：根据总水量=排水量×时间，推导t与a的函数解析式；
步骤2：利用排水时间t的范围（5≤t≤10），代入解析式求出a的取值范围；
步骤3：画函数图象时，只取a在[2,4]对应的反比例函数曲线段；
步骤4：将a=3代入解析式，计算排水时间。
【解析】
(1) 由总水量=排水量×排水时间，得 $ a · t = 20 $，变形得函数解析式为 $ t = \frac{20}{a} $。
已知排水时间 $ 5 ≤ t ≤ 10 $，将 $ t=5 $ 代入得 $ a = \frac{20}{5}=4 $；将 $ t=10 $ 代入得 $ a = \frac{20}{10}=2 $，因此 $ a $ 的取值范围是 $ 2 ≤ a ≤ 4 $。
故函数解析式为 $ t = \frac{20}{a} \ (2 ≤ a ≤ 4) $。
(2) 函数图象：反比例函数 $ t=\frac{20}{a} $ 在 $ a \in [2,4] $ 上的一段曲线，端点为 $ (2,10) $ 和 $ (4,5) $，连接两点的光滑曲线（图象略）。
(3) 当排水量 $ a=3 \ \mathrm{m}^3/\mathrm{min} $ 时，代入 $ t=\frac{20}{a} $，得 $ t=\frac{20}{3} \ \mathrm{min} $。
【答案】
(1) $ t=\frac{20}{a}(2≤ a≤ 4) $；(2) 图象略；(3) $ \frac{20}{3}\ \mathrm{min} $
【知识点】
反比例函数的应用，函数自变量的取值范围，反比例函数图象
【点评】
本题是反比例函数在实际排水问题中的典型应用，核心是利用总水量不变建立函数关系，再结合实际条件确定自变量和函数的取值范围，难度不大，侧重基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
列方程解应用题:小王开着私家车到某市接朋友,他家到该市的路程为 300 km,其车速与每千米的耗油量之间的关系如下表所示:
(1) 请认真分析表中的数据,直接写出$y$和$x$之间的函数解析式:
$y=\frac{4}{x}$
;
(2) 若该车油箱最大容积为 35 L,小王把油箱加满油后出发,接到朋友后迅速返回,如果他保持 60 km/h 的速度匀速行驶.问油箱中的油是否够用?请说明理由.
答案：(1) $y=\frac{4}{x}$；(2) 油箱中的油不够用,小王一共需要 40 L油,还缺少5 L油.
解析：
【分析】
第(1)问：观察表格中车速$x$和每千米耗油量$y$的乘积，发现乘积为定值，由此判断$y$与$x$成反比例函数，通过代入数据求出反比例函数的系数，即可得到解析式；第(2)问：先将车速$x=60$代入已求的函数解析式，算出此时每千米耗油量，再计算往返总路程，用总路程乘以每千米耗油量得到总耗油量，与油箱容积比较，判断油是否够用。
【解析】
(1) 观察表格数据：$10×0.4=4$，$20×0.2=4$，$40×0.1=4$，$80×0.05=4$，可知$x$与$y$的乘积为定值4，因此$y$是$x$的反比例函数，设函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，将$x=10$，$y=0.4$代入得：$0.4=\frac{k}{10}$，解得$k=4$，所以函数解析式为$y=\frac{4}{x}$。
(2) 当车速$x=60\,\mathrm{km/h}$时，代入函数解析式得每千米耗油量$y=\frac{4}{60}=\frac{1}{15}\,\mathrm{L/km}$。
往返总路程为：$300×2=600\,\mathrm{km}$，
总耗油量为：$600×\frac{1}{15}=40\,\mathrm{L}$。
因为油箱最大容积为35 L，$40\,\mathrm{L}＞35\,\mathrm{L}$，且$40-35=5\,\mathrm{L}$，所以油箱中的油不够用，还缺少5 L油。
【答案】
(1) $y=\frac{4}{x}$；(2) 油箱中的油不够用，小王一共需要40 L油，还缺少5 L油。
【知识点】
反比例函数、函数解析式、行程耗油量计算
【点评】
本题结合实际驾车行程问题，考查反比例函数的确定与应用，解题关键是从表格数据中识别反比例关系，再代入计算解决实际耗油量问题，体现了数学与生活的联系。
【难度系数】
0.4
1. 在闭合电路中，电流$I$，电压$U$，电阻$R$之间的关系为$I=\frac{U}{R}$. 电压$U(\mathrm{V})$一定时，电流$I(\mathrm{A})$关于电阻$R(\Omega)$的函数关系的大致图象是 （
）
答案：1. A
解析：
【分析】首先明确题目条件：电压U一定，根据欧姆定律可知电流I与电阻R的关系，再结合电阻的取值范围，判断对应的函数图象类型，进而选出正确选项。
【解析】根据欧姆定律，当电压U一定时，电流I与电阻R满足$I=\frac{U}{R}$，其中U为定值（U＞0），电阻R是物理量，取值范围为R＞0，因此该函数是第一象限内的反比例函数，图象为双曲线的一支。观察选项：A是第一象限的反比例曲线，符合；B是正比例函数图象，不符合；C是一次函数图象，不符合；D是增长型曲线，不符合。
【答案】A
【知识点】反比例函数、欧姆定律
【点评】本题结合物理知识考查反比例函数的图象，需明确函数类型和自变量的实际取值范围，属于基础题，难度较低。
【难度系数】0.7
