【分析】
任务一：
1. 函数公共点问题本质是联立解析式有解，联立$y=x^2-c$和$y=2x$，移项得$x^2-2x=c$，因此问题转化为定抛物线$y=x^2-2x$在$0≤x≤3$区间内，与动直线$y=c$的交点问题，可得①的答案。
2. 将抛物线解析式配方得$y=(x-1)^2-1$，确定顶点坐标、区间端点的函数值，即可画出指定区间内的图象。
3. 结合图象观察直线$y=c$与该段抛物线的交点个数，分情况讨论$c$的取值即可。
任务二：
先联立两个函数解析式，消去含参数$m$的一次项，将问题转化为定抛物线$y=x^2-4x+2$在$x≥1$区间内与直线$y=m$的交点问题；再通过配方确定抛物线顶点坐标、$x=1$处的函数值，结合图象分析两个交点对应的$m$范围即可。
【解析】
任务一
① 联立$y=x^2 - c$与$y=2x$，得$x^2 - c=2x$，移项得$x^2 - 2x = c$，因此问题转化为抛物线$y=x^2 - 2x$（$0≤x≤3$）与直线$y=c$的公共点问题。
② 对$y=x^2 -2x$配方得$y=(x-1)^2 -1$，该抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,-1)$，当$x=0$时$y=0$，当$x=2$时$y=0$，当$x=3$时$y=3$，据此画出$0≤x≤3$范围内的图象：
③ 结合图象分析交点个数：
当$c=-1$（直线过抛物线顶点）或$c=3$（直线过区间右端点$(3,3)$）时，两个图象有1个公共点；
当$-1＜c≤0$时，直线$y=c$与抛物线在$0≤x≤3$范围内交于2个点，即有2个公共点；
当$0＜c＜3$时，直线$y=c$与抛物线在$0≤x≤3$范围内交于1个点，即有1个公共点；
当$c＜-1$或$c＞3$时，直线$y=c$与抛物线在$0≤x≤3$范围内无交点，即没有公共点。
任务二
联立$y=-x^2 + (m+4)x + m$与$y=mx +2$，得：
$-x^2 + (m+4)x + m = mx +2$
移项整理得：$x^2 -4x +2 = m$，问题转化为抛物线$y=x^2-4x+2$在$x≥1$的部分与直线$y=m$的公共点问题。
将抛物线配方得$y=(x-2)^2 -2$，开口向上，顶点坐标为$(2,-2)$，当$x=1$时，$y=1^2 -4×1 +2=-1$；在$x≥1$范围内，$x$从1到2时$y$从-1降到-2，$x＞2$时$y$随$x$增大而增大。
要使两个图象有2个公共点，即直线$y=m$与该段抛物线有2个交点，因此$m$的取值范围是$-2＜m≤-1$。
【答案】
任务一：① $\boldsymbol{c}$；②
；③ 当$c=-1$或$c=3$时，有1个公共点；当$-1＜c≤0$时，有2个公共点；当$0＜c＜3$时，有1个公共点；当$c＜-1$或$c＞3$时，没有公共点。
任务二：$\boldsymbol{-2＜m≤-1}$，
【知识点】
函数交点与方程转化；二次函数图象性质；数形结合思想
【点评】
本题通过转化思想将含参数的函数交点问题简化为定抛物线与平行于x轴的动直线的交点问题，降低了参数讨论的难度，解题核心是熟练掌握二次函数的图象性质，结合区间范围分析交点情况，能够有效锻炼逻辑分析能力和数形结合应用能力。
【难度系数】
0.4
