1. 从甲、乙两班中各随机抽取10名学生，他们的科学知识测试成绩如下(单位:分)：
甲班:83,85,82,86,87,81,86,84,90,76；
乙班:74,79,89,91,80,79,89,85,84,90.
分别计算这两组样本的平均数和方差，并估计哪个班级学生的科学测试成绩水平比较一致.
答案：解：
计算甲班样本的平均数：
$\overline{x}_甲 = \frac{1}{10}×(83+85+82+86+87+81+86+84+90+76) = 84$（分）
甲班样本的方差：
$s^2_甲 = \frac{1}{10}×[(83-84)^2+(85-84)^2+(82-84)^2+(86-84)^2+(87-84)^2+(81-84)^2+(86-84)^2+(84-84)^2+(90-84)^2+(76-84)^2]$
$=\frac{1}{10}×(1+1+4+4+9+9+4+0+36+64) = 13.2$
计算乙班样本的平均数：
$\overline{x}_乙 = \frac{1}{10}×(74+79+89+91+80+79+89+85+84+90) = 84$（分）
乙班样本的方差：
$s^2_乙 = \frac{1}{10}×[(74-84)^2+(79-84)^2+(89-84)^2+(91-84)^2+(80-84)^2+(79-84)^2+(89-84)^2+(85-84)^2+(84-84)^2+(90-84)^2]$
$=\frac{1}{10}×(100+25+25+49+16+25+25+1+0+36) = 30.2$
$\because s^2_甲 ＜ s^2_乙$，
$\therefore$ 甲班学生的科学测试成绩水平比较一致。
答：甲班样本平均数为84分，方差为13.2；乙班样本平均数为84分，方差为30.2，甲班学生的科学测试成绩水平比较一致。
解析：
【分析】
要解决本题，可按照三步思路推导：①先根据平均数的计算公式，分别计算甲、乙两班抽取的10名学生成绩的平均数，平均数等于所有数据之和除以数据总个数；②再根据方差的计算公式，分别代入两班的成绩和对应平均数，计算两组数据的方差；③最后根据方差的意义判断成绩一致性：方差越小，数据的离散程度越小，成绩越稳定一致，比较两个班的方差大小即可得出结论。
【解析】
1. 计算甲班样本的平均数：
$\overline{x}_甲 = \frac{1}{10}×(83+85+82+86+87+81+86+84+90+76) = 84$（分）
计算甲班样本的方差：
$s^2_甲 = \frac{1}{10}×[(83-84)^2+(85-84)^2+(82-84)^2+(86-84)^2+(87-84)^2+(81-84)^2+(86-84)^2+(84-84)^2+(90-84)^2+(76-84)^2]$
$=\frac{1}{10}×(1+1+4+4+9+9+4+0+36+64) = 13.2$
2. 计算乙班样本的平均数：
$\overline{x}_乙 = \frac{1}{10}×(74+79+89+91+80+79+89+85+84+90) = 84$（分）
计算乙班样本的方差：
$s^2_乙 = \frac{1}{10}×[(74-84)^2+(79-84)^2+(89-84)^2+(91-84)^2+(80-84)^2+(79-84)^2+(89-84)^2+(85-84)^2+(84-84)^2+(90-84)^2]$
$=\frac{1}{10}×(100+25+25+49+16+25+25+1+0+36) = 30.2$
3. 比较方差判断一致性：
$\because s^2_甲 ＜ s^2_乙$，
$\therefore$ 甲班学生的科学测试成绩水平比较一致。
【答案】
甲班样本平均数为84分，方差为13.2；乙班样本平均数为84分，方差为30.2，甲班学生的科学测试成绩水平比较一致。
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题属于统计模块的基础应用题，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的计算公式，明确方差可以反映数据的离散程度：方差越小，数据波动越小，越稳定。解题时要注意计算的准确性，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.8
2. 阅读：
一组数据 $ x_1, x_2, \dots, x_n $ 的方差的算术平方根，即 $ s = \sqrt{\frac{1}{n}[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \dots + (x_n - \overline{x})^2]} $ 叫作这组数据的标准差。例如，数据2，-1，3，2，-2，2的标准差 $ s = \sqrt{\frac{1}{6}[(2 - 1)^2 + (-1 - 1)^2 + \dots + (2 - 1)^2]} \approx 1.8 $。
从某种树木的苗圃中随机抽取树苗100株，测量它们的高度（单位：cm），并按从小到大的顺序排列为：
43， 45， 49， 51， 54， 55， 57， 58， 58， 59，
59， 60， 60， 61， 61， 63， 63， 64， 65， 65，
65， 66， 66， 67， 68， 69， 69， 70， 70， 70，
70， 71， 71， 71， 72， 72， 73， 73， 73， 74，
74， 75， 75， 75， 75， 76， 76， 77， 79， 79，
80， 80， 80， 80， 81， 82， 82， 83， 83， 83，
85， 85， 85， 86， 86， 88， 88， 89， 90， 90，
90， 91， 91， 92， 94， 95， 95， 95， 96， 96，
97， 97， 99， 99， 100， 101， 101， 103， 104， 106，
106， 106， 107， 109， 109， 110， 110， 112， 115， 117.
（1）用计算器计算上述数据的平均数$\overline{x}$、方差$s^2$和标准差$s$；
（2）在$\overline{x} - s ∼ \overline{x} + s$范围内的数据占全部数据的百分之多少？
答案：解：
(1) 通过计算器计算可得：
平均数 $\overline{x} = 80\ \mathrm{cm}$，
方差 $s^2 \approx 287.1$，
标准差 $s \approx 16.9\ \mathrm{cm}$。
(2) 计算区间范围：
$\overline{x} - s \approx 80 - 16.9 = 63.1$，
$\overline{x} + s \approx 80 + 16.9 = 96.9$，
统计得100个数据中，落在$63.1 ∼ 96.9$范围内的数据共有65个，
所占百分比为 $\frac{65}{100} × 100\% = 65\%$。
答：(1) 平均数为$80\ \mathrm{cm}$，方差约为287.1，标准差约为$16.9\ \mathrm{cm}$；(2) 范围内的数据占全部数据的65%。
解析：
【分析】
（1）计算100个数据的平均数，需先求所有数据的总和再除以总个数100；方差是每个数据与平均数差值的平方的平均值；标准差是方差的算术平方根，由于数据量较大，借助计算器的统计功能即可快速得到对应结果。
（2）先根据第一问算出的平均数和标准差，求出$\overline{x}-s$和$\overline{x}+s$的数值确定区间范围，再统计落在该区间内的数据个数，用个数除以总数据数100后乘100%，即可得到所求百分比。
【解析】
(1) 将100个树苗高度数据输入计算器，使用统计功能计算可得：
平均数$\overline{x} = 80\ \mathrm{cm}$，
方差$s^2 \approx 287.1$，
标准差$s = \sqrt{s^2} \approx 16.9\ \mathrm{cm}$。
(2) 计算区间端点数值：
$\overline{x} - s \approx 80 - 16.9 = 63.1$，
$\overline{x} + s \approx 80 + 16.9 = 96.9$，
统计100个数据中落在$63.1 ∼ 96.9$范围内的数据，共65个，
则所占百分比为 $\frac{65}{100} × 100\% = 65\%$。
【答案】
(1) 平均数为$80\ \mathrm{cm}$，方差约为287.1，标准差约为$16.9\ \mathrm{cm}$；
(2) 在$\overline{x} - s ∼ \overline{x} + s$范围内的数据占全部数据的65%。
【知识点】
平均数计算，方差与标准差，频率计算
【点评】
本题结合标准差的定义考查统计特征量的计算与应用，既需要掌握平均数、方差、标准差的基本概念，也需要具备细心统计数据的能力，计数时要注意避免漏数、多数的错误。
【难度系数】
0.7
