7. “降次”是解一元二次方程的基本思想，降次的常用方法是因式分解，“换元”也可以实现“降次”，例如：$x^4 -5x^2 +4=0$是一个一元四次方程，设$x^2 = y$，则$x^4 = y^2$，于是原方程可转化为$y^2 -5y +4=0$，解得$y_1=1,y_2=4$。当$y=1$时，$x^2=1$，所以$x=\pm1$；当$y=4$时，$x^2=4$，所以$x=\pm2$。所以原方程有四个根：$x_1=1,x_2=-1,x_3=2,x_4=-2$。请你解决下列问题：
（1）通过因式分解“降次”，解高次方程$x^3 -9x=0$。
（2）通过换元“降次”，解高次方程$(x^2 +3x)^2 -2(x^2 +3x)-8=0$。
答案：解：
（1）对原方程左边因式分解，得：
$x(x^2 - 9)=0$
进一步分解得：
$x(x+3)(x-3)=0$
则$x=0$或$x+3=0$或$x-3=0$
解得$x_1=0$，$x_2=-3$，$x_3=3$。
（2）设$x^2+3x=y$，则原方程可转化为：
$y^2 - 2y - 8=0$
因式分解得：
$(y-4)(y+2)=0$
解得$y_1=4$，$y_2=-2$。
当$y=4$时，$x^2+3x=4$，整理得$x^2+3x-4=0$，
因式分解得$(x+4)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-4$；
当$y=-2$时，$x^2+3x=-2$，整理得$x^2+3x+2=0$，
因式分解得$(x+1)(x+2)=0$，解得$x_3=-1$，$x_4=-2$。
所以原方程的根为$x_1=1$，$x_2=-4$，$x_3=-1$，$x_4=-2$。
解析：
【分析】
（1）解高次方程的核心是降次，对于方程$x^3 -9x=0$，先观察到左边有公因式$x$，先提取公因式，再对剩余的二次式用平方差公式继续因式分解，将三次方程转化为多个一次因式乘积为0的形式，令每个因式等于0即可求解。
（2）观察方程$(x^2 +3x)^2 -2(x^2 +3x)-8=0$，$x^2+3x$整体重复出现，因此用换元法，设$y=x^2+3x$，将原四次方程转化为关于$y$的一元二次方程，解出$y$的取值后，再分别代入$y=x^2+3x$得到关于$x$的一元二次方程，逐个求解即可得到原方程的所有根。
【解析】
（1）对原方程左边因式分解，得：
$x(x^2 - 9)=0$
利用平方差公式进一步分解得：
$x(x+3)(x-3)=0$
则$x=0$或$x+3=0$或$x-3=0$
解得$x_1=0$，$x_2=-3$，$x_3=3$。
（2）设$x^2+3x=y$，则原方程可转化为：
$y^2 - 2y - 8=0$
因式分解得：
$(y-4)(y+2)=0$
解得$y_1=4$，$y_2=-2$。
当$y=4$时，$x^2+3x=4$，整理得$x^2+3x-4=0$，
因式分解得$(x+4)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-4$；
当$y=-2$时，$x^2+3x=-2$，整理得$x^2+3x+2=0$，
因式分解得$(x+1)(x+2)=0$，解得$x_3=-1$，$x_4=-2$。
所以原方程的根为$x_1=1$，$x_2=-4$，$x_3=-1$，$x_4=-2$。
【答案】
（1）$x_1=0$，$x_2=-3$，$x_3=3$；
（2）$x_1=1$，$x_2=-4$，$x_3=-1$，$x_4=-2$。
【知识点】
因式分解法解方程；换元法降次；高次方程求解
【点评】
本题围绕高次方程的“降次”核心思想命题，分别考察了因式分解直接降次和换元降次两种常用方法，解题时需注意换元后要回代求原方程的根，避免漏解，熟练掌握因式分解是求解本题的基础。
【难度系数】
0.7
