【分析】
判断开球规则是否公平的核心标准是：甲、乙两队获得先开球权的概率是否相等，若概率相等则规则公平，否则不公平。解题时依次对4种方式分别计算两队的概率，再比较即可：
1. 摸球：统计白球、黑球的数量，分别计算两队对应概率；
2. 转盘：通过两队对应扇形的面积占比，判断概率大小关系；
3. 抛硬币：直接分析正反两面的概率；
4. 掷骰子：统计奇数、偶数的个数，计算两队对应概率。
【解析】
对4种方式逐一分析：
①摸球：观察可得代表甲队的白球共4个，代表乙队的黑球共3个，总球数为7个。
$P(\mathrm{甲先开球})=\frac{4}{7}$，$P(\mathrm{乙先开球})=\frac{3}{7}$，二者概率不相等，规则不公平；
②转盘：甲队对应的扇形面积明显大于乙队对应的扇形面积，因此$P(\mathrm{甲先开球})＞P(\mathrm{乙先开球})$，规则不公平；
③抛硬币：硬币只有正、反两面，$P(\mathrm{正面})=P(\mathrm{反面})=\frac{1}{2}$，即两队先开球的概率相等，规则公平；
④掷骰子：骰子点数为1~6，其中奇数有1、3、5共3个，偶数有2、4、6共3个，$P(\mathrm{甲先开球})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{乙先开球})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，二者概率相等，规则公平。
综上，公平的方式有③④，共2种。
【答案】
B
【知识点】
游戏公平性判断，概率计算
【点评】
本题是概率应用的基础题型，解题关键是掌握“游戏公平等价于双方获胜概率相等”的判断原则，准确统计对应事件的数量或面积占比即可解题，易错点是统计摸球数量、观察转盘面积时出错。
【难度系数】
0.7

【分析】
判断游戏是否公平的核心是比较甲乙两人得分的概率是否相等。我们可以先计算掷两个骰子的所有等可能结果总数，再分别分类计算点数和为偶数、奇数的结果数，进而求出两人得分的概率，对比概率大小即可判断游戏公平性。
【解析】
甲乙各掷一个正方体骰子，每个骰子有6种等可能的点数，因此所有等可能的结果总数为 $6 × 6 = 36$ 种。
1. 计算甲得分（点数和为偶数）的概率：
两个数相加和为偶数的情况分为两类：
① 两个骰子点数均为奇数：骰子的奇数点数有1、3、5共3种，该类结果数为 $3 × 3 = 9$ 种；
② 两个骰子点数均为偶数：骰子的偶数点数有2、4、6共3种，该类结果数为 $3 × 3 = 9$ 种。
因此点数和为偶数的总结果数为 $9 + 9 = 18$ 种，甲得分的概率为 $\frac{18}{36} = \frac{1}{2}$。
2. 计算乙得分（点数和为奇数）的概率：
点数和为奇数即两个骰子点数一奇一偶，分为两类：
① 甲掷得奇数、乙掷得偶数：结果数为 $3 × 3 = 9$ 种；
② 甲掷得偶数、乙掷得奇数：结果数为 $3 × 3 = 9$ 种。
因此点数和为奇数的总结果数为 $9 + 9 = 18$ 种，乙得分的概率为 $\frac{18}{36} = \frac{1}{2}$。
由于甲乙得分的概率相等，因此该游戏是公平的。
【答案】
A
【知识点】
概率计算；游戏公平性判断
【点评】
本题是概率在实际游戏场景中的基础应用，解题关键是通过分类计数准确求出双方获胜的概率，明确当双方获胜概率相等时游戏公平，掌握该类题型的解法可以解决生活中大部分公平性判断问题。
【难度系数】
0.8

【分析】
要使抢凳子游戏公平，需保证凳子到三名选手（即△ABC的三个顶点A、B、C）的距离相等，因此我们需要找到△ABC中到三个顶点距离相等的点，再对应判断各选项中交点的性质即可解题。首先回忆三角形各特殊线段交点的性质，逐一匹配“到三个顶点距离相等”的条件。
【解析】
游戏公平的核心要求是：凳子放置的位置到A、B、C三点的距离相等。
我们逐一分析选项：
A. 三边中线的交点是三角形的重心，性质是重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等，不符合要求；
B. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此外心到△ABC的三个顶点距离相等，符合公平要求；
C. 三条角平分线的交点是三角形的内心，性质是到三角形三边的距离相等，并非到三个顶点距离相等，不符合要求；
D. 三边上高的交点是三角形的垂心，没有到三个顶点距离相等的性质，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线性质；三角形特殊交点性质；游戏公平性
【点评】
本题结合生活中的游戏场景考查几何性质的应用，解题的关键是将“游戏公平”的实际要求转化为“点到三角形三个顶点距离相等”的数学条件，再结合三角形各特殊交点的性质判断即可，注重对基础知识实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断游戏规则是否公平，核心是比较聪聪和明明获胜的概率是否相等。解题思路如下：第一步，用列举法写出2、3、4三张卡片能摆出的所有不同三位数，确保不重不漏；第二步，根据偶数的定义（个位为偶数的数是偶数），分别统计偶数、奇数的个数；第三步，结合概率公式计算两人各自获胜的概率；第四步，对比两个概率，若相等则规则公平，否则不公平。
【解析】
用标有2、3、4的三张卡片能摆出的所有三位数为：234、243、324、342、423、432，共6种等可能的结果。
其中是偶数的有234、324、342、432，共4种；是奇数的有243、423，共2种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{聪聪赢})=\frac{\mathrm{偶数的个数}}{\mathrm{总个数}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
$P(\mathrm{明明赢})=\frac{\mathrm{奇数的个数}}{\mathrm{总个数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
因为$\frac{2}{3}≠\frac{1}{3}$，两人获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平。
【答案】
不公平
【知识点】
列举法求概率、游戏公平性判断、偶数的判定
【点评】
本题考查概率在实际游戏规则判断中的应用，解题的关键是准确列举所有等可能的结果，正确计算双方获胜的概率，只有当双方获胜的概率相等时，游戏规则才是公平的。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决本题，首先明确游戏对双方公平的核心条件是甲、乙两人获胜的概率相等。解题思路如下：第一步，根据口袋中球的总数量，结合白球、绿球的数量表达式，先表示出黑球的个数；第二步，分别用绿球数量除以总球数得到甲获胜的概率，用黑球数量除以总球数得到乙获胜的概率；第三步，令两个概率相等列出一元一次方程；第四步，解方程求出x的值，验证x符合球的数量为正整数的实际要求即可。
【解析】
由题意得，黑球的个数为$15 - x - 2x = 15 - 3x$。
要使游戏对甲、乙双方公平，则甲获胜的概率等于乙获胜的概率，可得：
$\frac{2x}{15} = \frac{15 - 3x}{15}$
两边同乘15得：
$2x = 15 - 3x$
移项合并同类项得：
$5x=15$
解得：
$x=3$
【答案】
3
【知识点】
1.概率公式 2.游戏公平性判定 3.一元一次方程应用
【点评】
本题是概率应用的基础题型，解题关键是理解游戏公平的本质是双方获胜概率相等，通过建立方程求解未知数，既考查了概率的基本计算，也结合了方程的相关知识，属于常考的基础类题目。
【难度系数】
0.8