6. 小明和小丽玩掷骰子游戏，两人各掷一枚质地均匀的骰子.
当两枚骰子朝上一面的点数之和大于7时，小明得1分，否则小丽得1分.这个游戏规则对双方公平吗？如果不公平，请提出一条对双方都公平的改进意见.
答案：解：
两人各掷一枚质地均匀的骰子，所有等可能出现的结果共有$6 × 6 = 36$种。
其中两枚骰子点数之和大于7的结果共有15种，
因此小明得分的概率为$\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$，
小丽得分的概率为$1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$。
因为$\frac{5}{12} ≠ \frac{7}{12}$，所以这个游戏规则对双方不公平。
改进意见：当两枚骰子朝上一面的点数之和大于7时小明得1分，点数之和小于7时小丽得1分，点数之和等于7时双方均不得分，此时双方得分概率相等，游戏规则对双方公平。
（改进意见合理即可）
解析：
【分析】
判断游戏是否公平的核心标准是双方得分的概率是否相等。解题时首先计算两人各掷一枚骰子的所有等可能结果总数，再统计两枚骰子点数和大于7的结果数，算出小明得分的概率后，进一步求出小丽得分的概率，比较两个概率的大小即可判断规则是否公平；若不公平，修改规则时只要保证双方得分的概率相等即可。
【解析】
解：两人各掷一枚质地均匀的骰子，所有等可能出现的结果共有 $6 × 6 = 36$ 种。
其中两枚骰子点数之和大于7的结果共有15种（和为8有5种、和为9有4种、和为10有3种、和为11有2种、和为12有1种，合计$5+4+3+2+1=15$种）。
因此小明得分的概率为 $\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$，
小丽得分的概率为 $1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$。
因为 $\frac{5}{12} ≠ \frac{7}{12}$，所以这个游戏规则对双方不公平。
改进意见：当两枚骰子朝上一面的点数之和大于7时小明得1分，点数之和小于7时小丽得1分，点数之和等于7时双方均不得分，此时双方得分概率相等，游戏规则对双方公平。（改进意见合理即可）
【答案】
这个游戏规则对双方不公平。改进意见示例：当两枚骰子朝上一面的点数之和大于7时小明得1分，点数之和小于7时小丽得1分，点数之和等于7时双方均不得分（合理即可）。
【知识点】
游戏公平性判断、等可能事件概率计算
【点评】
本题结合常见的掷骰子游戏考查概率的实际应用，解题关键是明确游戏公平的判断依据为双方获胜概率相等，准确统计对应事件的结果数是计算概率的核心，修改规则的开放性问题只要满足双方概率相等即为合理，属于概率章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
7. 有4支形状、大小、质地都相同的签，其中有2支签代表奖品，4个人按一定顺序依次从中任意抽取1支签（抽出的签不放回），先抽的人得到奖品的可能性一定大吗？为什么？
答案：解：先抽的人得到奖品的可能性不一定更大，4个人抽到奖品的可能性完全相等。
理由如下：
将2支有奖签记为A、B，2支无奖签记为C、D，4支签除内容外完全相同，4个人依次不放回抽取的所有结果都是等可能的。
1. 第1个人抽取时，共4支签，其中2支有奖，因此第1个人抽到奖品的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
2. 计算第2个人抽到奖品的概率：
若第1个人抽到奖品，剩余3支签中有1支有奖，该情况的概率为$\frac{2}{4} × \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$；
若第1个人没抽到奖品，剩余3支签中有2支有奖，该情况的概率为$\frac{2}{4} × \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$；
因此第2个人抽到奖品的总概率为$\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$。
3. 同理可计算得，第3个人、第4个人抽到奖品的概率也均为$\frac{1}{2}$。
由此可知，4个人抽到奖品的概率完全相同，先抽的人得到奖品的可能性并不会更大。
解析：
【分析】
要判断先抽的人得到奖品的可能性是否更大，不能仅凭直觉判断，需要通过计算不同抽签顺序的人抽到奖品的概率，对比概率大小得出结论。计算后续抽签者的中奖概率时，要分类讨论前面的人是否抽到奖品两种情况，再将两种情况的概率相加得到总概率。
【解析】
将2支有奖签记为A、B，2支无奖签记为C、D，4支签除是否有奖外完全相同，4个人依次不放回抽取的所有结果都是等可能的。
1. 第1个人抽取时，共有4支签，其中2支有奖，因此第1个人抽到奖品的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
2. 计算第2个人抽到奖品的概率，分两种情况讨论：
若第1个人抽到奖品，剩余3支签中有1支有奖，该情况的概率为$\frac{2}{4} × \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$；
若第1个人没抽到奖品，剩余3支签中有2支有奖，该情况的概率为$\frac{2}{4} × \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$；
因此第2个人抽到奖品的总概率为$\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$。
3. 同理可计算得，第3个人、第4个人抽到奖品的概率也均为$\frac{1}{2}$。
由此可知4个人抽到奖品的概率完全相同。
【答案】
先抽的人得到奖品的可能性不一定更大，4个人抽到奖品的可能性完全相等。
【知识点】
等可能事件概率，不放回抽样，概率实际应用
【点评】
本题结合生活中常见的抽签场景命题，纠正了“先抽更容易中奖”的常见认知误区，考查了概率计算在实际问题中的应用，要求学生掌握通过严谨的概率计算判断事件发生可能性的方法，避免主观臆断。
【难度系数】
0.6
8. 小明发现路边设有一掷正方体骰子的游戏摊，规则是出现“6点”获奖，小明记录如下：
试通过运算揭示该游戏中骰子是否均匀.该游戏对参与者来说是骗局吗？
答案：解：
总投掷次数为：$30+20+25+5+18+50+12+40=200$
总中奖次数为：$1+0+0+1+0+2+0+1=5$
试验中掷出“6点”的频率为 $\frac{5}{200}=0.025$。
均匀正方体骰子掷出6点的理论概率为 $\frac{1}{6}\approx0.167$，试验得到的频率远小于理论概率，说明该骰子不均匀，该游戏对参与者来说是骗局。
解析：
【分析】
要判断骰子是否均匀，可利用“大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在对应概率附近”的规律分析：首先计算所有参与者的总投掷次数、总中奖（即掷出6点）次数，求出本次试验中掷出6点的频率，再将该频率和均匀骰子掷出6点的理论概率$\frac{1}{6}$对比，若二者差距过大，说明骰子不符合均匀特征，游戏为骗局。
【解析】
解：首先计算总投掷次数：
$30+20+25+5+18+50+12+40=200$
再计算总中奖次数：
$1+0+0+1+0+2+0+1=5$
本次试验中掷出“6点”的频率为 $\frac{5}{200}=0.025$
均匀正方体骰子掷出6点的理论概率为 $\frac{1}{6}\approx0.167$，试验得到的频率远小于理论概率，说明该骰子不均匀，该游戏对参与者来说是骗局。
【答案】
该骰子不均匀，该游戏对参与者来说是骗局。
【知识点】
用频率估计概率，概率的应用
【点评】
本题结合生活中的游戏场景，考查利用概率相关知识解决实际问题的能力，引导学生学会用数学思维辨别生活中的不公平现象，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
