1. 在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他都相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中有白球（
）
A.12个
B.16个
C.20个
D.30个
答案：A
解析：
【分析】
这是一道利用频率估计概率的实际应用题，解题思路如下：首先，大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，因此可以用摸球试验中摸到黑球的频率来估计盒子中黑球占总球数的概率；其次，设白球的个数为未知数，结合概率公式列关于白球个数的方程；最后解方程求出结果即可。
【解析】
解：设盒子中共有白球$ x $个。
1. 计算摸到黑球的频率：共摸球40次，10次摸到黑球，因此摸到黑球的频率为$\frac{10}{40}=\frac{1}{4}$。
2. 根据大量重复试验中频率近似等于概率，可知盒子中黑球占总球数的概率约为$\frac{1}{4}$。
3. 总球数为$(4+x)$个，黑球有4个，结合概率公式列方程：
$\frac{4}{4+x}=\frac{1}{4}$
4. 解方程：
交叉相乘得：$4+x=16$
解得：$x=12$
5. 检验：当$x=12$时，$4+x=16≠0$，因此$x=12$是原方程的解，符合实际意义。
【答案】
A
【知识点】
用频率估计概率；概率公式；分式方程应用
【点评】
本题是概率应用的基础题型，解题核心是理解“大量重复试验下频率的稳定值即为概率”，再结合概率公式建立方程求解即可，注意求出结果后要检验是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
2. 某养殖户为了估计池塘里有多少条鱼，先从池塘里捕捞100条鱼做上标记，然后放回池塘，经过一段时间，带有标记的鱼完全混合于鱼群后，又从池塘里捕捞200条鱼，发现有15条有标记，估计池塘里有鱼（
）
A.1 333条
B.3 000条
C.300条
D.1 500条
答案：A
解析：
【分析】
这道题用到用样本估计总体的统计思想，解题思路如下：首先将标记的100条鱼放回池塘，待鱼群混合均匀后，整个池塘中带标记的鱼占总鱼数的比例是稳定的，这个比例和后续捕捞的200条鱼中带标记的鱼占样本总量的比例近似相等，我们可以依据这个等量关系设未知数列式，就能估算出池塘总鱼数。
【解析】
设池塘里大约有$x$条鱼。
根据标记鱼在总体和样本中的占比近似相等，可列方程：
$\frac{100}{x}=\frac{15}{200}$
交叉相乘得：$15x=100×200$
解得：$x=\frac{20000}{15}\approx1333$
因此估计池塘里有鱼约1333条。
【答案】
A
【知识点】
用样本估计总体、概率的实际应用、抽样调查
【点评】
本题是概率在实际生产中的典型应用题目，解题关键是抓住“样本特征与总体特征近似一致”的核心逻辑建立等量关系，能够让学生直观感受到数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.8
3. 在一个不透明的盒子中装有$a$个球，这些球除颜色外其他都相同，且只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则$a$的值约为
。
答案：解：由频率估计概率的知识可知，大量重复试验下摸到红球的频率稳定在0.2左右，因此摸到红球的概率约为0.2。
根据概率公式可得：
$\frac{3}{a} = 0.2$
解得：$a=15$。
答：$a$的值约为15。
解析：
【分析】
解题时首先要明确：当进行大量重复试验时，某一事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，因此可以用稳定的频率估计事件发生的概率。本题中摸到红球的频率稳定在0.2，即可得摸到红球的概率约为0.2；再结合概率的计算公式：随机事件的概率=该事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，这里摸到红球的结果数是3，总摸球结果数对应总球数a，代入即可列出关于a的方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
解：由频率估计概率的知识可知，大量重复试验下摸到红球的频率稳定在0.2左右，因此摸到红球的概率约为0.2。
根据概率公式可得：
$\frac{3}{a} = 0.2$
解得：$a=15$
【答案】
15
【知识点】
频率估计概率；概率公式
【点评】
本题考查利用频率估计概率的实际应用，解题关键是牢记大量重复试验中频率的稳定值即为事件发生的概率，再结合概率公式列方程计算即可，考查内容偏基础。
【难度系数】
0.8
4. 生物学家估计某一地区的野鹿只数时，常采用“捉放捉”的方法，即先捕捉野鹿$n$只，分别给它们做上记号，然后放归；一段时间后，重新捕捉一些野鹿作为样本.若多次这样捕捉到的野鹿中平均每$m$只有$a$只带有记号，则估计该地区野鹿的只数为
.
答案：解：设该地区野鹿的总只数为$x$。
根据样本频率估计总体概率的原理，总体中带标记野鹿的占比近似等于样本中带标记野鹿的占比，可得：
$\frac{n}{x}=\frac{a}{m}$
解得：
$x=\frac{nm}{a}$
经检验，$x=\frac{nm}{a}$是原方程的解，且符合实际意义。
答：估计该地区野鹿的只数为$\frac{nm}{a}$。
解析：
【分析】
这是概率在实际估算场景中的应用题，核心解题思路是运用“用样本估计总体”的思想。首先明确总体中带记号的野鹿总数固定为n只，设该地区野鹿总只数为x，则总体里带记号野鹿的占比为$\frac{n}{x}$；多次捕捉的样本数据显示平均每m只有a只带记号，说明样本中带记号野鹿的占比约为$\frac{a}{m}$。根据样本占比近似等于总体占比的原理列方程，求解后检验结果是否符合实际意义即可。
【解析】
设该地区野鹿的总只数为$x$。
根据样本频率估计总体概率的原理，总体中带标记野鹿的占比近似等于样本中带标记野鹿的占比，可得：
$\frac{n}{x}=\frac{a}{m}$
交叉相乘得：$ax=nm$
解得：$x=\frac{nm}{a}$
经检验，$x=\frac{nm}{a}$是原方程的解，且符合实际估算的意义。
【答案】
$\frac{nm}{a}$
【知识点】
用样本估计总体；概率的应用；分式方程求解
【点评】
本题是概率与实际生活结合的基础题型，解题关键是找准“总体带标记个体占比与样本带标记个体占比近似相等”的等量关系，理解用样本估计总体的核心思想即可顺利解题，同时要注意验证分式方程的解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
5. (1) 一个不透明的盒子中装有若干个除颜色外其他都相同的红球与黄球. 在这个袋子中先放入2个白球,再进行摸球试验,摸球试验的要求:每次摸出一个球,记录颜色后放回盒中搅匀,再继续摸球,全班一共做了400次这样的摸球试验. 若摸出白球的频数是40,你能估计在未放入白球前,袋中原来共有多少个小球吗?
(2) 提出问题:一个不透明的盒子中装有若干个除颜色外其他都相同的红球与黄球,怎样估算不同颜色球的数量?
活动操作:先从盒子中摸出8个球,画上记号放回盒子中. 再进行摸球试验,摸球试验的要求:先搅拌均匀,每次摸出一个球,记录颜色、是否有记号,放回盒子中,再继续摸球、记录、放回袋中.
统计结果:摸球试验一共做了50次,统计结果如下表.
由上述摸球试验推算:
① 盒子中红球、黄球各占总球数的百分比是多少?
② 盒子中有红球多少个?
答案：解：
(1) 设未放入白球前，袋中原来共有$ x $个小球。
摸出白球的频率为$\frac{40}{400}=0.1$，用频率估计概率可得：
$\frac{2}{x+2} = 0.1$
解得$ x = 18 $，经检验$ x=18 $是原方程的解，且符合题意。
(2) ① 50次摸球试验中，摸到红球的总次数为$ 18+2=20 $，摸到黄球的总次数为$ 28+2=30 $。
红球占总球数的百分比为：$\frac{20}{50} × 100\% = 40\%$
黄球占总球数的百分比为：$\frac{30}{50} × 100\% = 60\%$
② 50次摸球试验中，摸到有记号的球的总次数为$ 2+2=4 $，摸到带记号的球的频率为$\frac{4}{50}=0.08$。
设盒子中总共有$ y $个球，由题意得：
$\frac{8}{y} = 0.08$
解得$ y=100 $，经检验$ y=100 $是原方程的解，且符合题意。
盒子中红球的数量为$ 100 × 40\% = 40 $个。
答：(1) 估计未放入白球前，袋中原来共有18个小球；(2) ① 盒子中红球占总球数的40%，黄球占总球数的60%；② 盒子中有红球40个。
解析：
【分析】
（1）本问可利用频率估计概率的思想求解：先计算摸出白球的频率，该频率近似等于摸出白球的概率，结合白球的数量和放入白球后的总球数的关系列方程，即可求出原来袋中的球数。
（2）①要估算红球、黄球占总球数的百分比，可先统计50次试验中摸到红球、黄球的总次数，用摸到对应颜色球的频率估计其占总球数的百分比即可；②先统计摸到有记号球的频率，用该频率估计摸到有记号球的概率，结合做记号的球的总数量列方程求出盒中总球数，再乘红球占比即可得到红球的数量。
【解析】
(1) 设未放入白球前，袋中原来共有$ x $个小球。
摸出白球的频率为$\frac{40}{400}=0.1$，用频率估计概率可得：
$\frac{2}{x+2} = 0.1$
解得$ x = 18 $，经检验$ x=18 $是原方程的解，且符合题意。
(2) ① 50次摸球试验中，摸到红球的总次数为$ 18+2=20 $，摸到黄球的总次数为$ 28+2=30 $。
红球占总球数的百分比为：$\frac{20}{50} × 100\% = 40\%$
黄球占总球数的百分比为：$\frac{30}{50} × 100\% = 60\%$
② 50次摸球试验中，摸到有记号的球的总次数为$ 2+2=4 $，摸到带记号的球的频率为$\frac{4}{50}=0.08$。
设盒子中总共有$ y $个球，由题意得：
$\frac{8}{y} = 0.08$
解得$ y=100 $，经检验$ y=100 $是原方程的解，且符合题意。
盒子中红球的数量为$ 100 × 40\% = 40 $个。
【答案】
(1) 估计未放入白球前，袋中原来共有18个小球；(2) ① 盒子中红球占总球数的40%，黄球占总球数的60%；② 盒子中有红球40个。
【知识点】
用频率估计概率、分式方程的应用、样本估计总体
【点评】
本题结合摸球试验场景，考查概率在实际估算问题中的应用，解题核心是理解频率与概率的关系，能从统计数据中提取有效信息建立等量关系，贴近生活实际，能很好地锻炼统计应用思维。
【难度系数】
0.7
