1. 某服装店从10月份开始对秋装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价500元的秋装，优惠后的价格为320元，则该秋装原本打（
）
A.6折
B.7折
C.8折
D.9折
答案：C
解析：
【分析】
这是一道销售折扣类的一元二次方程应用题，首先明确“折上折”的含义：两次折扣力度相同，打x折时单次售价为折前价格的$\frac{x}{10}$。解题思路如下：第一步设单次折扣为x折；第二步根据“原价×(单次折扣比例)²=最终售价”的等量关系列方程；第三步解方程并结合实际意义舍去不符合要求的解，即可得到结果。
【解析】
解：设该秋装原本打x折。
根据题意列方程：
$500×(\dfrac{x}{10})^2=320$
化简得：$(\dfrac{x}{10})^2=0.64$
开方得：$\dfrac{x}{10}=\pm0.8$
由于折扣数为正数，因此舍去$\dfrac{x}{10}=-0.8$，
得$\dfrac{x}{10}=0.8$，解得$x=8$，即该秋装原本打8折。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；折扣问题；平均变化率问题
【点评】
本题属于实际应用类基础题，解题核心是准确理解“折上折”的计算规则，找准等量关系列方程，求解后注意舍去不符合实际场景的负根即可。
【难度系数】
0.8
2. 某公园举办音乐节.经调研,如果票价定为每张30元,那么1200张门票可以全部售出;如果票价每增加1元,那么售出的门票就减少10张,要使门票收入达到38 500元,票价应定为多少元?设票价为x元,则根据题意,可列方程
.
答案：解：
设票价为x元，
此时票价较30元增加了$(x-30)$元，对应的实际售出门票数量为$1200-10(x-30)$张，
根据门票总收入为38500元，可列方程：
$x[1200-10(x-30)]=38500$
整理得：$x^2-150x+3850=0$
解得：$x_1=35$，$x_2=115$
两个解均符合实际意义。
答：票价应定为35元或115元。
解析：
【分析】
解决本题首先要明确核心等量关系：门票总收入=单张票价×实际售出门票数量。已知设票价为x元，第一步先计算票价较原价30元的上涨金额：$(x-30)$元；第二步结合“票价每增加1元，售出门票减少10张”的规则，可算出减少的售票数量为$10(x-30)$张，因此实际售票数量为原售票量减去减少的数量，即$1200-10(x-30)$张；最后将单张票价、实际售票数代入等量关系，即可列出方程，后续解方程并验证解的合理性就能得到最终票价。
【解析】
解：设票价为x元。
1. 票价较30元上涨了$(x-30)$元；
2. 实际售出门票数量：$1200-10(x-30)$张；
3. 根据“门票总收入=单张票价×售出门票数”，且总收入为38500元，列方程：
$\displaystyle x[1200-10(x-30)]=38500$
4. 整理方程：
展开括号得$x(1500-10x)=38500$，化为一般形式为$\displaystyle x^2-150x+3850=0$
5. 解方程：
因式分解得$(x-35)(x-115)=0$，解得$\displaystyle x_1=35$，$\displaystyle x_2=115$
6. 合理性验证：两个解均为正数，对应售票数量分别为1150张、350张，均为正整数，符合实际售票规则。
【答案】
可列方程为$\boldsymbol{x[1200-10(x-30)]=38500}$，票价应定为35元或115元。
【知识点】
一元二次方程的应用；销售问题等量关系；列方程解应用题
【点评】
本题是销售类实际应用的基础题型，核心是找准“总收入=单价×销量”的等量关系，解题关键是根据调价规则正确表示出实际销量，求解后注意检验根是否符合实际情境即可。
【难度系数】
0.7
3. 某商品进价每件 30 元,若以 x 元卖出,则可卖$(100-x)$件,商场计划要赚 1 200 元,同时又让顾客得到实惠,则该商品的售价应为
元.
答案：解：
根据题意，列方程得：
$(x-30)(100-x)=1200$
整理得：
$x^2 -130x +4200 = 0$
因式分解得：
$(x-60)(x-70)=0$
解得：
$x_1=60,\quad x_2=70$
要让顾客得到实惠，需选择更低的售价，故取$x=60$。
答：该商品的售价应为60元。
解析：
【分析】
解题首先回忆销售利润问题的核心等量关系：总利润=单件商品的利润×销售数量。首先确定单件利润：售价为x元，进价30元，因此单件利润为(x-30)元；题目已给出销售量为(100-x)件，总利润要求为1200元，据此可列出一元二次方程。解方程得到两个解后，结合“让顾客得到实惠”的要求，售价越低对顾客越划算，因此选择数值更小的解作为最终售价。
【解析】
根据题意，总利润=单件利润×销售量，列方程得：
$(x-30)(100-x)=1200$
整理方程：
展开左侧并移项得$x^2 -130x +4200 = 0$
因式分解得：
$(x-60)(x-70)=0$
解得：
$x_1=60,\quad x_2=70$
由于要让顾客得到实惠，需选择更低的售价，因此舍去$x=70$，取$x=60$。
【答案】
60
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于销售类实际应用题，解题关键是准确找到总利润的等量关系列出方程，尤其要注意结合题目的实际限制条件对求得的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
4. 一西瓜种植户每天可售出西瓜 300 kg，每千克的盈利是1.2元.在销售中发现:若西瓜售价每上涨0.1元/kg，则平均每天少售出5 kg，设西瓜售价上涨x元/ kg，该种植户每天销售的盈利平均要达到 406 元.根据题意，可列方程 （
）
A.$(1.2+x)(300-5x)=406$
B.$(1.2-x)(300+5x)=406$
C.$(1.2+x)(300-50x)=406$
D.$(1.2-x)(300+50x)=406$
答案：C
解析：
【分析】
解决这类销售盈利类列方程问题，首先要抓住核心等量关系：总盈利=每千克的盈利×销售总质量。我们可以分两步推导两个未知量：第一步推导涨价后的每千克盈利，原本每千克盈利1.2元，上涨x元后，每千克盈利就是原来的盈利加上涨的价格，即(1.2+x)元；第二步推导涨价后的销售量，题目给出每上涨0.1元就少卖5kg，那我们先算x元里包含多少个0.1元，也就是x÷0.1=10x个，每个0.1元对应少卖5kg，所以总共少卖10x×5=50x kg，原来卖300kg，所以现在的销售量就是(300-50x)kg。最后把这两个量代入总盈利的等量关系，就能得到符合题意的方程。
【解析】
销售问题的核心等量关系为：$\mathrm{总盈利}=\mathrm{单位质量盈利}×\mathrm{销售总质量}$
① 计算涨价后的单位盈利：
原每千克盈利1.2元，售价上涨x元/kg后，每千克盈利为$\boxed{1.2+x}$元；
② 计算涨价后的日销售量：
每上涨0.1元/kg，日销售量减少5kg，那么上涨x元时，减少的销售量为：$\frac{x}{0.1}×5=50x$ kg；
原日销售量为300kg，因此涨价后的日销售量为$\boxed{300-50x}$ kg；
③ 结合总盈利为406元列方程：
将上述两个量代入等量关系，可得：
$(1.2+x)(300-50x)=406$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
销售利润问题、一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是销售类方程应用的常规题型，解题关键是紧扣总利润的计算公式，准确梳理价格变动对应的销售量变化，易错点是计算销售量减少量时，容易直接用x乘5得到减少量，误选A选项，解题时要注意单位变动对应的数量关系，分步推导避免出错。
【难度系数】
0.7
5. 某公司通过技术创新开发了一条芯片生产线，开工第一季度生产200万个芯片，第三季度生产288万个芯片.
（1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率.
（2）1条生产线最大产能是600万个/季度.若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
答案：解：
(1) 设前三季度生产量的平均增长率为x，
依题意列方程：
$200(1+x)^2 = 288$
整理得：$(1+x)^2=1.44$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率为负不符合实际意义，舍去）。
(2) 设应该再增加x条生产线，则每条生产线的最大产能为$(600-20x)$万个/季度，
依题意列方程：
$(1+x)(600-20x) = 2600$
整理得：$x^2 -29x +100 = 0$
解得：$x_1=4$，$x_2=25$
∵要节省投入成本，生产线越多投入成本越大，
∴$x=25$不符合题意，舍去，取$x=4$。
答：前三季度生产量的平均增长率为20%，应该再增加4条生产线。
解析：
【分析】
（1）本题为平均增长率类问题，解题核心是利用增长率公式：初始量×(1+平均增长率)^增长次数=最终量。已知第一季度产量为初始量200万个，到第三季度经过2次季度增长，最终产量为288万个，设平均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际意义的根。
（2）本题为产能优化类实际问题，设增加x条生产线，首先可得总生产线数量为(1+x)条，再根据“每增加1条生产线，单条最大产能减少20万个”得出单条生产线产能为(600-20x)万个/季度，总产能=生产线总数×单条生产线产能，结合总产能要求2600万个列方程求解，最后根据“节省投入成本，生产线越少成本越低”的条件取舍根，选择更小的正整数解即可。
【解析】
(1) 设前三季度生产量的平均增长率为x，
依题意列方程：
$200(1+x)^2 = 288$
整理得：$(1+x)^2=1.44$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率为负不符合实际意义，舍去）。
(2) 设应该再增加x条生产线，则每条生产线的最大产能为$(600-20x)$万个/季度，
依题意列方程：
$(1+x)(600-20x) = 2600$
整理得：$x^2 -29x +100 = 0$
解得：$x_1=4$，$x_2=25$
∵要节省投入成本，生产线越多投入成本越大，
∴$x=25$不符合题意，舍去，取$x=4$。
【答案】
（1）前三季度生产量的平均增长率为20%；（2）应该再增加4条生产线。
【知识点】
1. 平均增长率问题 2. 一元二次方程实际应用 3. 实际解的取舍
【点评】
本题是一元二次方程在生产场景中的典型应用题，既考察了基础增长率模型的应用，也要求学生结合实际规则判断解的合理性，能够有效锻炼数学建模和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.6
