【分析】
要确定m的取值范围，需结合题目给出的两个限定条件分析：①方程是一元二次方程，首先要满足一元二次方程的定义，即二次项系数不为0；②方程有两个不相等的实数根，需满足根的判别式Δ＞0。分别根据这两个条件列不等式，再取两个不等式解集的公共部分，即可得到m的取值范围，注意不要遗漏二次项系数不为0的限制条件。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-1)x^2+2x+1=0$是一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即 $m-1≠0$，
解得 $m≠1$。
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式 $\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4×(m-1)×1 ＞ 0$，
化简得 $4 - 4m + 4 ＞ 0$，即 $8-4m＞0$，
解得 $m＜2$。
综上，$m$的取值范围是 $m＜2$ 且 $m≠1$。
【答案】
$m＜2$且$m≠1$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，易错点是容易忽略“一元二次方程的二次项系数不为0”这一隐含条件，仅通过判别式大于0求解，导致取值范围多包含了m=1的情况，解题时要注意结合题干的所有限定条件综合分析。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题要求一元二次方程两根的平方和，无需直接求解方程的根，可先利用完全平方公式将待求式变形为包含两根之和、两根之积的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出对应数值，代入计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两个实数根为$x_1,x_2$，则有：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知方程$x^2 -5x -7=0$中，$a=1$，$b=-5$，$c=-7$，代入得：
$x_1+x_2=-\frac{-5}{1}=5$，$x_1x_2=\frac{-7}{1}=-7$
根据完全平方公式变形可得：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
将$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-7$代入上式：
$x_1^2+x_2^2=5^2-2×(-7)=25+14=39$
【答案】
B
【知识点】
韦达定理，完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，核心是掌握代数式的恒等变形，将待求式转化为可直接用韦达定理计算的形式，能大幅降低计算量，是该板块的基础常考题。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题需分三步推进：①先求解一元二次方程，得到边AB的两个可能取值；②结合菱形的性质与三角形三边关系，排除不符合实际几何条件的根，确定AB的实际长度；③根据菱形四边相等的性质计算周长。需注意：菱形的边与对角线可构成三角形，必须满足三角形三边关系，不能直接将方程的所有根都作为边长计算。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 -7x +12=0$因式分解，得$(x-3)(x-4)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=4$，即边AB的长可能为3或4。
2. 验证根的合理性：
已知菱形的一条对角线长为6，若AB=3，则菱形的两条邻边与这条对角线的长度为3、3、6，不满足“三角形两边之和大于第三边”的要求，无法构成三角形，故舍去$x=3$。
因此菱形的边长AB=4。
3. 计算周长：
菱形四条边长度相等，故周长为$4×4=16$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；菱形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题，易错点是求解方程后未结合几何图形的实际性质对根进行取舍，解题时要注意几何结论需满足实际图形的构成条件。
【难度系数】
0.7

【分析】
要构造满足要求的一元二次方程，首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），结合题目给出的两个条件推导系数间的关系：首先题目规定一次项系数为$-1$，即$b=-1$；其次$x=1$是方程的根，将$x=1$代入方程就能得到二次项系数$a$和常数项$c$的数量关系，最后给$a$任意取不为0的数值，即可求出对应的$c$，写出符合要求的方程。
【解析】
设符合要求的一元二次方程为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）：
1. 根据一次项系数为$-1$，可得$b=-1$，方程简化为$ax^2 - x + c=0$（$a\ne0$）；
2. 因为$x=1$是方程的根，将$x=1$代入上述方程得：$a×1^2 -1 +c=0$，整理得$a + c=1$，即$c=1-a$；
3. 给$a$取不为0的任意值，即可得到对应$c$，写出方程：
取$a=1$，则$c=1-1=0$，方程为$x^2 -x=0$；
取$a=2$，则$c=1-2=-1$，方程为$2x^2 -x -1=0$。
（$a$可取任意不为0的实数，因此答案不唯一）
【答案】
$x^2 - x = 0$，$2x^2 - x - 1 = 0$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的根的意义
【点评】
本题为开放性基础题，核心考查对一元二次方程基本概念的掌握，解题的关键是利用方程根的性质建立各系数的关系，赋值时注意二次项系数不能为0即可。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先从题目中提取关键信息：周瑜去世年龄是两位数，且大于30岁（而立之年指代30岁），年龄的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于年龄本身。解题时先设个位数字为未知数，用含未知数的式子表示十位数字和这个两位数，再根据“个位平方与寿符”的等量关系列一元二次方程求解，最后结合“而立之年睿东吴”的条件舍去不符合实际的解，即可得到正确年龄。
【解析】
设周瑜去世时年龄的个位数字为$ x $，则十位数字为$ x-3 $。
根据题意列方程：
$x^2 = 10(x-3) + x$
整理得：
$x^2 - 11x + 30 = 0$
因式分解得$(x-5)(x-6)=0$
解得：
$x_1=5,\quad x_2=6$
当$ x=5 $时，对应年龄为$ 10×(5-3)+5=25 $，与“而立之年（30岁）睿东吴”的描述矛盾，舍去；
当$ x=6 $时，对应年龄为$ 10×(6-3)+6=36 $，符合题意。
【答案】
36
【知识点】
一元二次方程的应用；两位数的表示；解的合理性检验
【点评】
本题结合古典诗词设置情境，既需要理解诗词中的隐含条件，也需要掌握两位数的表示方法和一元二次方程的解法，解题时要注意结合实际情境对求出的方程解进行取舍，很好地考查了知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
这组题目是一元二次及简单高次方程的求解，核心解题思路是通过降次将高次方程转化为一次方程求解。解题时先观察方程的结构特征选择最优解法：①若方程含有公因式，优先选用因式分解法，提取公因式后将方程转化为多个一次因式乘积为0的形式，分别令每个因式为0求解；②若方程可化为左边是含未知数的完全平方、右边是非负常数的形式，选用直接开平方法求解；③若无法直接因式分解或开平方，可将方程整理为一般形式后选用配方法或公式法求解；④对于含相同公因式的高次方程，先提取公因式降次再求解。
【解析】
(1) 因式分解，得
$(x-4)(x+1)=0$
$x-4=0$ 或 $x+1=0$
解得 $x_1=4$，$x_2=-1$。
(2) 两边同除以2，得
$(2x-1)^2=9$
直接开平方，得 $2x-1=\pm3$
当 $2x-1=3$ 时，解得 $x=2$；
当 $2x-1=-3$ 时，解得 $x=-1$。
所以 $x_1=2$，$x_2=-1$。
(3) 移项、整理，得
$x^2-4x-3=0$
移项得 $x^2-4x=3$
配方，得 $x^2-4x+4=3+4$，即 $(x-2)^2=7$
开平方，得 $x-2=\pm\sqrt{7}$
解得 $x_1=2+\sqrt{7}$，$x_2=2-\sqrt{7}$。
(4) 因式分解，得
$(3x+1)(x-1)=0$
$3x+1=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{3}$。
(5) 由完全平方公式，得
$(x-\sqrt{7})^2=0$
解得 $x_1=x_2=\sqrt{7}$。
(6) 原方程变形为
$x(x-1)+6(x-1)-x^2(x-1)=0$
提取公因式 $(x-1)$，得
$(x-1)(-x^2+x+6)=0$
即 $(x-1)(x-3)(x+2)=0$
$x-1=0$ 或 $x-3=0$ 或 $x+2=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=3$，$x_3=-2$。
【答案】
(1) $x_1=4$，$x_2=-1$；
(2) $x_1=2$，$x_2=-1$；
(3) $x_1=2+\sqrt{7}$，$x_2=2-\sqrt{7}$；
(4) $x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{3}$；
(5) $x_1=x_2=\sqrt{7}$；
(6) $x_1=1$，$x_2=3$，$x_3=-2$。
【知识点】
1. 解一元二次方程
2. 因式分解法
3. 配方法
【点评】
本组题目重点考查方程求解方法的灵活运用，需要根据不同方程的特征选择最简便的解法，熟练掌握因式分解、直接开平方、配方等技巧，能有效提升解题的准确率和速度，同时体会降次思想在解方程中的应用。
【难度系数】
0.8