7. 三个连续整数中,第一个整数与第三个整数的平方和正好是100.求这三个连续整数.
答案：解：设三个连续整数中第一个整数为x，则另外两个整数分别为x+1，x+2。
根据题意列方程得：
$x^2 + (x+2)^2 = 100$
展开整理得：
$x^2 + 2x - 48 = 0$
因式分解得：
$(x+8)(x-6)=0$
解得：
$x_1=6$，$x_2=-8$
当$x=6$时，$x+1=7$，$x+2=8$；
当$x=-8$时，$x+1=-7$，$x+2=-6$。
答：这三个连续整数为6、7、8或-8、-7、-6。
解析：
【分析】
解决这道题首先要明确连续整数的特征：相邻两个连续整数相差1，我们可以先设出第一个整数，用含未知数的式子表示出另外两个整数；再根据题目给出的“第一个整数与第三个整数的平方和为100”的等量关系列出一元二次方程；最后求解方程，注意整数包含正整数和负整数，两个解都要代入求出对应的三个连续整数，避免漏解。
【解析】
设三个连续整数中第一个整数为x，则另外两个整数分别为x+1，x+2。
根据题意列方程得：
$x^2 + (x+2)^2 = 100$
展开整理得：
$x^2 + 2x - 48 = 0$
因式分解得：
$(x+8)(x-6)=0$
解得：
$x_1=6$，$x_2=-8$
当$x=6$时，$x+1=7$，$x+2=8$；
当$x=-8$时，$x+1=-7$，$x+2=-6$。
【答案】
这三个连续整数为6、7、8或-8、-7、-6
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 因式分解法解方程
3. 连续整数的表示
【点评】
本题是一元二次方程在数字问题中的基础应用，解题关键是正确用未知数表示出三个连续整数，找准等量关系列方程，解题时要注意整数包含正负，不要遗漏负整数的解。
【难度系数】
0.7
8. 已知关于$x$的方程$x^2-(m-3)x+m+8=0$的两个实数根的平方和等于13，求$m$的值及此方程的根.
答案：解：设方程$x^2-(m-3)x+m+8=0$的两个实数根为$x_1$，$x_2$。
∵方程有两个实数根，
∴判别式$\Delta = [-(m-3)]^2 - 4(m+8) ≥ 0$，
整理得：$m^2 -10m -23 ≥ 0$。
由韦达定理得：
$x_1 + x_2 = m-3$，$x_1x_2 = m+8$。
由题意$x_1^2 + x_2^2 =13$，又$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入得：
$(m-3)^2 - 2(m+8) =13$
展开整理：
$m^2 -6m +9 -2m -16 =13$
$m^2 -8m -20=0$
因式分解得$(m-10)(m+2)=0$，解得$m_1=10$，$m_2=-2$。
检验：
当$m=10$时，$\Delta=10^2 -10×10 -23=-23＜0$，方程无实数根，舍去；
当$m=-2$时，$\Delta=(-2)^2 -10×(-2)-23=1＞0$，符合条件。
将$m=-2$代入原方程得：
$x^2 +5x +6=0$，
因式分解得$(x+2)(x+3)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=-2$。
答：$m$的值为$-2$，方程的根为$x_1=-3$，$x_2=-2$。
解析：
【分析】
本题考查一元二次方程根的相关应用，解题思路如下：第一步，题目明确方程有两个实数根，因此首先要满足判别式Δ≥0，得到m的取值范围限制；第二步，要求两根的平方和，可利用完全平方公式的变形，将$x_1^2+x_2^2$转化为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再结合根与系数的关系，把两根之和、两根之积用含m的代数式表示，代入平方和等于13的条件，列出关于m的方程求解；第三步，因为方程有实根的前提是Δ≥0，所以必须把求出的m值代入判别式检验，舍去不符合条件的m值，最后把符合条件的m代入原方程求解即可得到方程的根。
【解析】
设方程$x^2-(m-3)x+m+8=0$的两个实数根为$x_1$，$x_2$。
∵方程有两个实数根，
∴判别式$\Delta = [-(m-3)]^2 - 4(m+8) ≥ 0$，
整理得：$m^2 -10m -23 ≥ 0$。
由根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = m-3$，$x_1x_2 = m+8$。
由题意$x_1^2 + x_2^2 =13$，又$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入得：
$(m-3)^2 - 2(m+8) =13$
展开整理：
$m^2 -6m +9 -2m -16 =13$
$m^2 -8m -20=0$
因式分解得$(m-10)(m+2)=0$，解得$m_1=10$，$m_2=-2$。
检验：
当$m=10$时，$\Delta=10^2 -10×10 -23=-23＜0$，方程无实数根，舍去；
当$m=-2$时，$\Delta=(-2)^2 -10×(-2)-23=1＞0$，符合条件。
将$m=-2$代入原方程得：
$x^2 +5x +6=0$，
因式分解得$(x+2)(x+3)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=-2$。
【答案】
$m$的值为$-2$，方程的根为$x_1=-3$，$x_2=-2$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程根的应用的常规题型，易错点是求解参数m后忽略判别式的检验，直接保留所有解导致错误，解题时要注意题目中“两个实数根”的前提条件，求出参数后务必回代判别式验证是否符合要求。
【难度系数】
0.6
9. 某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演,其表演队形随音乐节奏动态调整.一次表演的设计如下:开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列,组成一个正方形方阵.当音乐推进至高潮部分,表演队形发生变化,首先有4个机器人出列,在舞台的最前方担任领舞,其余机器人则迅速调整站位组成一个长方形方阵.该长方形方阵的列数要比原方阵列数的2倍少1列,行数要比原来方阵行数少4行.应安排多少个机器人参加表演？
答案：解：设原正方形方阵的每边有x个机器人，即原方阵的行数、列数均为x，则参加表演的机器人总数为$x^2$个。
根据题意，得：
$x^2 - 4 = (2x - 1)(x - 4)$
整理方程：
$x^2 - 4 = 2x^2 - 9x + 4$
$x^2 - 9x + 8 = 0$
因式分解得：
$(x - 1)(x - 8) = 0$
解得：$x_1=1$，$x_2=8$
当$x=1$时，长方形方阵的行数为$x-4=-3$，不符合实际意义，舍去；
当$x=8$时，机器人总数为$x^2=64$，符合题意。
答：应安排64个机器人参加表演。
解析：
【分析】
首先，题目中开场是正方形方阵，我们可以设原正方形方阵每边有x个机器人，那么总人数就是$x^2$。接下来找等量关系：总人数减去4个领舞的数量，等于后续长方形方阵的总人数。已知长方形方阵的列数是$2x-1$、行数是$x-4$，长方形方阵总人数等于列数乘行数，据此可列出一元二次方程。解出方程的根后，要结合实际情况判断根是否合理，方阵的行数、列数不能为负数，不符合的根要舍去，最后用符合条件的x求出总人数即可。
【解析】
设原正方形方阵的每边有x个机器人，即原方阵的行数、列数均为x，则参加表演的机器人总数为$x^2$个。
根据题意，剩余机器人数量等于长方形方阵总人数，列方程得：
$x^2 - 4 = (2x - 1)(x - 4)$
展开并整理方程：
$x^2 - 4 = 2x^2 - 9x + 4$
移项合并同类项得：
$x^2 - 9x + 8 = 0$
因式分解得：
$(x - 1)(x - 8) = 0$
解得：$x_1=1$，$x_2=8$
检验：当$x=1$时，长方形方阵的行数为$x-4=-3$，行数不能为负，不符合实际意义，舍去；
当$x=8$时，长方形列数$2x-1=15$、行数$x-4=4$，均为正整数，符合实际，此时机器人总数为$x^2=8^2=64$。
【答案】
应安排64个机器人参加表演。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 方阵计数
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题结合机器人表演的生活化场景，考查方程建模能力，解题的核心是准确找到总人数、领舞人数和长方形方阵人数之间的等量关系，同时要注意对解得的根进行实际意义的检验，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
