4. 一项水利工程中需要挖一条深沟，每天需要挖掘20 t土，整个工程完毕恰好用了6天.
（1）在工程结束后，需要把所有的土进行回填.在整个回填过程中，平均回填速度v t/天与回填天数t之间有怎样的函数关系？
（2）若要求在3～4天完成回填，求平均每天回填多少吨土.
答案：解：
（1）总土方量为 $20×6=120\ \mathrm{t}$，
由回填总土方量等于日回填速度乘回填天数，得 $vt=120$，
变形得函数关系：$\boldsymbol{v=\dfrac{120}{t}\ (t＞0)}$，是反比例函数。
（2）对反比例函数 $v=\dfrac{120}{t}$，$k=120＞0$，$v$ 随 $t$ 的增大而减小。
当 $t=3$ 时，$v=\dfrac{120}{3}=40$；
当 $t=4$ 时，$v=\dfrac{120}{4}=30$。
因此当 $3≤ t≤4$ 时，$30≤ v≤40$。
答：（1）平均回填速度$v$与回填天数$t$的函数关系为$v=\dfrac{120}{t}(t＞0)$；（2）平均每天回填土的量不少于30吨，且不超过40吨。
解析：
【分析】
解决第（1）问时，首先需要先计算出总的土方量，回填过程中总土方量是固定不变的，总土方量等于平均回填速度乘回填天数，二者乘积为定值，符合反比例函数的定义，即可推导得到函数关系式。解决第（2）问时，结合反比例函数的增减性，代入回填天数范围的两个端点值，就能得到平均每天回填量的取值范围。
【解析】
（1）首先计算总土方量：$20×6=120\ \mathrm{t}$，
根据回填总土方量=日回填速度×回填天数，可得$vt=120$，
变形得到函数关系：$\boldsymbol{v=\dfrac{120}{t}\ (t＞0)}$，属于反比例函数。
（2）对于反比例函数$v=\dfrac{120}{t}$，其中$k=120＞0$，因此当$t＞0$时，$v$随$t$的增大而减小。
当$t=3$时，$v=\dfrac{120}{3}=40$；
当$t=4$时，$v=\dfrac{120}{4}=30$。
因此当$3≤ t≤4$时，可得$30≤ v≤40$。
【答案】
（1）平均回填速度$v$与回填天数$t$的函数关系为$v=\dfrac{120}{t}(t＞0)$；（2）平均每天回填土的量不少于30吨，且不超过40吨。
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质
【点评】
本题结合实际工程场景考查反比例函数相关知识，解题的关键是抓住总土方量这一不变量建立函数模型，再利用反比例函数的增减性求解取值范围，贴近生活实际，难度较低。
【难度系数】
0.8
5. 一般情况下一节 40 min 的课中学生的注意力随讲课时间的变化而变化.假设注意力指标数 y 随时间 x min 的变化规律如图所示(其中 CD 为双曲线的一部分):
(1) 分别求线段 AB 和双曲线 CD 的函数表达式；
(2) 有一个知识点需要讲 19 min,为了效果较好,要求注意力指标数不低于 36,那么老师能否在学生注意力达到所需状态下讲解完这个知识点？
答案：解：
(1) 设线段AB对应的函数表达式为$y = kx + b$（$k ≠ 0$）。
将$A(0,20)$、$B(10,40)$代入表达式，得：
$\begin{cases} b=20 \\ 10k + b = 40 \end{cases}$
解得$k=2$，$b=20$。
∴线段AB的函数表达式为 $\boldsymbol{y = 2x + 20 \ (0 ≤ x ≤ 10)}$。
设双曲线CD对应的函数表达式为 $y = \dfrac{m}{x}$（$m ≠ 0$）。
将$C(25,40)$代入表达式，得：
$40 = \dfrac{m}{25}$，解得$m=1000$。
∴双曲线CD的函数表达式为 $\boldsymbol{y = \dfrac{1000}{x} \ (x ≥ 25)}$。
(2) 当注意力指标数$y=36$时：
将$y=36$代入$y=2x+20$，得$2x+20=36$，解得$x=8$。
将$y=36$代入$y=\dfrac{1000}{x}$，得$36=\dfrac{1000}{x}$，解得$x=\dfrac{250}{9}$。
注意力指标数不低于36的总时长为：
$\dfrac{250}{9} - 8 = \dfrac{178}{9} \approx 19.78 \ \mathrm{min}$。
∵$19.78 ＞ 19$，
∴老师能在学生注意力达到所需状态下讲解完这个知识点。
答：老师能在学生注意力达到所需状态下讲解完这个知识点。
解析：
【分析】
(1) 求线段AB的函数表达式：AB为一次函数图像，已知A(0,20)、B(10,40)两个坐标点，采用待定系数法设一次函数解析式$y=kx+b$，代入两点坐标求解$k$、$b$，同时标注自变量$x$的取值范围即可；求双曲线CD的函数表达式：CD为反比例函数图像，已知C(25,40)，设反比例函数解析式$y=\frac{m}{x}$，代入C点坐标求解$m$，再标注$x$的取值范围即可。
(2) 要判断能否讲解完知识点，首先需要求出注意力指标数等于36时，在AB段和CD段对应的$x$值，两个$x$值的差就是注意力不低于36的总时长，将该时长与19min比较大小，若大于等于19则能讲解完，反之则不能。
【解析】
(1) 设线段AB对应的一次函数表达式为$y = kx + b$（$k ≠ 0$）。
将$A(0,20)$、$B(10,40)$代入表达式，得：
$\begin{cases} b=20 \\ 10k + b = 40 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=2 \\ b=20 \end{cases}$
∴线段AB的函数表达式为 $y = 2x + 20 \ (0 ≤ x ≤ 10)$。
设双曲线CD对应的反比例函数表达式为 $y = \dfrac{m}{x}$（$m ≠ 0$）。
将$C(25,40)$代入表达式，得：
$40 = \dfrac{m}{25}$，解得$m=1000$
∴双曲线CD的函数表达式为 $y = \dfrac{1000}{x} \ (x ≥ 25)$。
(2) 当注意力指标数$y=36$时：
将$y=36$代入$y=2x+20$，得$2x+20=36$，解得$x=8$。
将$y=36$代入$y=\dfrac{1000}{x}$，得$36=\dfrac{1000}{x}$，解得$x=\dfrac{250}{9}$。
注意力指标数不低于36的总时长为：
$\dfrac{250}{9} - 8 = \dfrac{178}{9} \approx 19.78 \ \mathrm{min}$
∵$19.78 ＞ 19$
∴老师能在学生注意力达到所需状态下讲解完这个知识点。
【答案】
(1) 线段AB：$\boldsymbol{y = 2x + 20 \ (0 ≤ x ≤ 10)}$；双曲线CD：$\boldsymbol{y = \dfrac{1000}{x} \ (x ≥ 25)}$
(2) 老师能在学生注意力达到所需状态下讲解完这个知识点。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合课堂注意力的实际场景，考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题关键是从函数图像中提取有效坐标信息，正确求出各段函数解析式，再结合函数性质解决实际问题，能有效锻炼学生提取信息、应用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
