【分析】
解题时首先回忆正比例、反比例函数的定义：若两个量成正比例，则可表示为$y=kx$（$k≠0$）的形式；若成反比例，则可表示为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的形式。第一步先根据定义分别设$y_1$、$y_2$的表达式，注意用不同的字母表示两个比例系数避免混淆，进而得到$y$关于$x$的含参表达式；第二步将题目给出的两组$x、y$的对应值代入含参表达式，得到关于两个比例系数的二元一次方程组；第三步解方程组求出参数值，再代回含参表达式即可得到最终的函数解析式。
【解析】
∵ $y_1$与$2x$成正比例，$y_2$与$x$成反比例，
∴ 设$y_1 = 2k_1x$（$k_1≠0$），$y_2 = \frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$），
则 $y = y_1 + y_2 = 2k_1x + \frac{k_2}{x}$。
将$x=1,y=6$和$x=2,y=6$分别代入上式，得：
$\begin{cases}2k_1 + k_2 = 6 \\4k_1 + \frac{k_2}{2} = 6\end{cases}$
解这个方程组：
由第一个方程得 $k_2 = 6 - 2k_1$，代入第二个方程：
$4k_1 + \frac{6-2k_1}{2} = 6$，
化简得 $3k_1 + 3 = 6$，解得 $k_1=1$，
将$k_1=1$代入$k_2=6-2k_1$，得$k_2=4$。
∴ $y$关于$x$的函数表达式为 $y=2x + \frac{4}{x}$。
【答案】
$\boldsymbol{y=2x+\dfrac{4}{x}}$
【知识点】
正比例函数定义、反比例函数定义、待定系数法求解析式
【点评】
本题属于函数基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是准确掌握正比例、反比例函数的表达式形式，注意区分两个不同的比例系数，求解方程组时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$在第一象限内满足y随x的增大而减小，已知点A的横坐标2小于点B的横坐标5，据此可直接判断$y_1$和$y_2$的大小。
(2) 首先判断四边形OCED为矩形，它的长等于OD的长度5，宽等于OC的长度即点A的纵坐标$y_1$，根据矩形面积公式列方程求出$y_1$后，再将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值。
(3) 先根据已求出的k值得到反比例函数解析式，分别计算点B、点P的纵坐标，再结合矩形面积公式分别求出$S_1$和$S_2$的面积，相加即可得到阴影部分总面积。
【解析】
(1) 对于$y=\frac{k}{x}(k＞0)$，在第一象限内y随x增大而减小，$\because 2＜5$，$\therefore y_1＞y_2$。
(2) $\because AC⊥ y$轴，$BD⊥ x$轴，延长$CA$交$DB$的延长线于点$E$，
$\therefore$ 四边形$OCED$四个内角均为直角，是矩形，
$\therefore S_{\mathrm{矩形}OCED}=OC· OD=5y_1=10$，
解得 $y_1=2$。
$\because$ 点$A(2,2)$在函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore k=2× 2=4$。
(3) 由(2)得反比例函数解析式为 $y=\frac{4}{x}$，
$\because$ 点$B(5,y_2)$在函数图象上，
$\therefore y_2=\frac{4}{5}=0.8$，
$\because$ 点$P(2.5,y_3)$在函数图象上，
$\therefore y_3=\frac{4}{2.5}=1.6$，
$\therefore S_1=2×(y_1-y_3)=2×(2-1.6)=0.8$，
$S_2=(5-2.5)× y_2=2.5×0.8=2$，
$\therefore S_1+S_2=0.8+2=2.8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{＞}$；(2) $k=4$；(3) $S_1+S_2=2.8$
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础综合题，将函数性质和图形面积计算相结合，解题核心是掌握反比例函数图象上点的横、纵坐标乘积等于k，结合图形的边长关系即可逐步求解，是反比例函数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7