10. 在水平地面上，某机器人对地面的压力$ F $固定为$ 480 \, \mathrm{N} $，地面所受压强$ P \, \mathrm{Pa} $与接触面积$ S \, \mathrm{m}^2 $之间成反比例函数的关系：$ P=\frac{F}{S} $。研究发现：机器人从单腿站立调整到双腿站立时，地面所受压强$ P $会减少$ 4×10^4 \, \mathrm{Pa} $。求该机器人单腿站立时与地面的接触面积。
答案：解：设该机器人单腿站立时与地面的接触面积为$S \, \mathrm{m}^2$，则双腿站立时与地面的接触面积为$2S \, \mathrm{m}^2$。
根据题意列方程：
$\frac{480}{S} - \frac{480}{2S} = 4×10^4$
化简得：
$\frac{240}{S} = 40000$
解得：
$S = 0.006$
经检验，$S=0.006$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：该机器人单腿站立时与地面的接触面积为$0.006 \, \mathrm{m}^2$。
解析：
【分析】
首先明确压强与接触面积满足反比例关系$P=\frac{F}{S}$，已知压力$F$固定为480N，机器人单腿站立时接触面积为$S$，则双腿站立时接触面积是单腿的2倍，即$2S$；题目给出的等量关系为：单腿站立时的压强减去双腿站立时的压强等于$4×10^4 \, \mathrm{Pa}$，据此列分式方程求解即可，最后要检验解是否满足分式方程要求、是否符合实际意义。
【解析】
设该机器人单腿站立时与地面的接触面积为$S \, \mathrm{m}^2$，则双腿站立时与地面的接触面积为$2S \, \mathrm{m}^2$。
根据题意列方程：
$\frac{480}{S} - \frac{480}{2S} = 4×10^4$
化简得：
$\frac{240}{S} = 40000$
解得：
$S = 0.006$
经检验，$S=0.006$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：该机器人单腿站立时与地面的接触面积为$0.006 \, \mathrm{m}^2$。
【答案】
$0.006 \, \mathrm{m}^2$
【知识点】
反比例函数应用、分式方程应用
【点评】
本题结合生活场景和跨学科背景，考查用方程思想解决实际问题的能力，解题关键是准确提取压强变化的等量关系，注意分式方程求解后必须检验根是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
11. 在平面直角坐标系中，一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}(m≠0)$的图象交于点$A(-3,-2),B(1,t)$.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当$x＞3$时，对于$x$的每一个值，一次函数$y=nx(n≠0)$的值既大于反比例函数$y=\frac{m}{x}$的值，又小于一次函数$y=kx+b(k≠0)$的值，直接写出$n$的取值范围.
答案：解：
（1）将点A(-3,-2)代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得：
$-2=\frac{m}{-3}$，解得m=6，
所以反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
将点B(1,t)代入$y=\frac{6}{x}$，得$t=\frac{6}{1}=6$，即B(1,6)。
将A(-3,-2)、B(1,6)代入一次函数y=kx+b，得：
$\begin{cases}-3k + b = -2 \\k + b = 6 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2 \\b=4 \end{cases}$所以一次函数的表达式为y=2x+4。$（2）\frac{2}{3} ＜ n ≤ 2$
解析：
【分析】
（1）求函数表达式优先使用待定系数法：反比例函数仅含1个未知参数m，已知交点A在反比例函数图象上，直接代入点A坐标即可求出m，得到反比例函数表达式；再将点B代入反比例函数表达式求出t，得到点B的完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数y=kx+b，解二元一次方程组即可求出k、b，得到一次函数表达式。
（2）要求x＞3时，$\frac{m}{x}＜nx＜kx+b$恒成立，可先将m、k、b的已知值代入，结合x＞3为正数，不等式两边除以x不改变不等号方向，将不等式转化为关于n的不等式，再结合x的取值范围分析不等式的最值，即可得到n的取值范围。
【解析】
（1）将点$A(-3,-2)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得：
$-2=\frac{m}{-3}$，解得$m=6$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
将点$B(1,t)$代入$y=\frac{6}{x}$，得$t=\frac{6}{1}=6$，即$B(1,6)$。
将$A(-3,-2)$、$B(1,6)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-3k + b = -2 \\k + b = 6 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2 \\b=4 \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=2x+4$。
（2）当$x＞3$时，需满足$\frac{6}{x}＜nx＜2x+4$恒成立：
① 先看$nx＜2x+4$，
∵x＞3＞0，两边同时除以x得：$n＜2+\frac{4}{x}$，
当$x＞3$时，$\frac{4}{x}$随x增大而减小，故$2+\frac{4}{x}＞2$，要使不等式恒成立，则$n≤2$；
② 再看$nx＞\frac{6}{x}$，
∵x＞3＞0，两边同时乘x得：$nx^2＞6$，即$n＞\frac{6}{x^2}$，
当$x＞3$时，$\frac{6}{x^2}$随x增大而减小，故$\frac{6}{x^2}＜\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，要使不等式恒成立，则$n＞\frac{2}{3}$；
综上，n的取值范围是$\frac{2}{3} ＜ n ≤ 2$。
【答案】
（1）反比例函数表达式为$y=\frac{6}{x}$，一次函数表达式为$y=2x+4$；（2）$\frac{2}{3} ＜ n ≤ 2$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与反比例函数交点；函数不等式恒成立
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，第一问属于基础考点，核心考察待定系数法的应用；第二问需要结合函数增减性分析参数范围，对不等式变形和函数性质的应用有一定要求，是函数类考题的常见考法。
【难度系数】
0.6
