1. 如图，$\odot O$的半径为5，弦AB的长为8，则$△ AOB$的面积为
。
答案：$\boldsymbol{12}$
解析：
【分析】
要求△AOB的面积，可将弦AB作为底，只需求出AB边上的高即可。首先OA、OB都是⊙O的半径，故OA=OB=5，△AOB为等腰三角形，过圆心O作AB的垂线，根据垂径定理，该垂线平分AB，由此可构造出直角三角形，结合勾股定理求出高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
已知AB=8，因此$AC=\frac{1}{2}×8=4$。
又⊙O的半径为5，即OA=5，在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
因此△AOB的面积为：$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×AB×OC=\frac{1}{2}×8×3=12$。
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是圆中的基础题型，解题核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，将圆的相关问题转化为直角三角形的问题求解，熟练掌握垂径定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D.已知AB=4,CD=2,圆心O到AB的距离为1,则大圆的半径为
,小圆的半径为
.
答案：大圆的半径为$\boldsymbol{\sqrt{5}}$，小圆的半径为$\boldsymbol{\sqrt{2}}$。
解析：
【分析】
遇到圆中已知弦长、圆心到弦的距离求半径的问题，首先想到利用垂径定理解决：过圆心作弦的垂线，可得到弦的中点，此时弦长的一半、圆心到弦的距离、圆的半径恰好构成直角三角形，再结合勾股定理即可分别求出大小圆的半径。
【解析】
解：过点O作OE⊥AB于点E，由题意可知OE=1。
根据垂径定理，得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$，
$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2=1$。
在Rt△OAE中，由勾股定理计算大圆半径OA：
$OA^2=AE^2+OE^2=2^2+1^2=5$，因此$OA=\sqrt{5}$；
在Rt△OCE中，由勾股定理计算小圆半径OC：
$OC^2=CE^2+OE^2=1^2+1^2=2$，因此$OC=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{5}$；$\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础题型，解题关键是作圆心到弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理即可快速求解，掌握这个通用方法能解决大部分同类型的弦长、半径计算问题。
【难度系数】
0.8
3. 唐代李皋发明的“桨轮船”，靠人力踩动桨轮轴，使桨叶拨水推动船体前进，是近代明轮航行模式的先导.如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长12 m，轮子的吃水深度CD为3 m，则该浆轮船的轮子半径为 （
）
A.4 m
B.5 m
C.6 m
D.7.5 m
答案：D
解析：
【分析】
解题时首先将实际问题转化为圆的几何问题：已知圆的弦AB长，以及过圆心垂直于弦的线段中弦下方到圆弧的吃水深度CD，求半径。首先根据垂径定理，过圆心O垂直于弦AB的直线OC平分AB，可得到AD的长度；再设半径为r，将直角三角形OAD的三边长度用r表示，最后利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设该桨轮船的轮子半径为$ r\ \mathrm{m} $，则$ OA = OC = r\ \mathrm{m} $。
由垂径定理可知，$ OC ⊥ AB $，且$ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 12 = 6\ \mathrm{m} $。
已知吃水深度$ CD=3\ \mathrm{m} $，因此$ OD = OC - CD = (r - 3)\ \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，根据勾股定理：$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $，代入得：
$r^2 = 6^2 + (r - 3)^2$
展开并整理方程：
$r^2 = 36 + r^2 - 6r + 9$
消去$ r^2 $后解得：$ 6r = 45 $，即$ r = 7.5 $。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质在实际生活中的应用，解题核心是将实际场景抽象为几何模型，结合垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理建立方程求解，考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=9$，$BC=12$，以点$C$为圆心，$AC$为半径的圆交$AB$于点$D$，则$AD$的长为（
）
A.9
B.10
C.10.8
D.12
答案：C
解析：
【分析】
解题时我们可以按照以下思路推导：1. 首先在Rt△ABC中，已知两条直角边的长度，先用勾股定理求出斜边AB的长度；2. 要求圆中弦AD的长，根据垂径定理，过圆心C作弦AD的垂线CE，可得AD=2AE，只需要求出AE的长度即可；3. CE是Rt△ABC斜边AB上的高，可通过三角形面积相等的方法求出CE的长度；4. 最后在Rt△ACE中用勾股定理算出AE的长度，乘以2即可得到AD的长。
【解析】
解：过点C作CE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，AC=9，BC=12，
∴在Rt△ABC中，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$，
∵△ABC的面积可表示为$\frac{1}{2}AC·BC$，也可表示为$\frac{1}{2}AB·CE$，
∴$\frac{1}{2}×9×12=\frac{1}{2}×15×CE$，解得$CE=\frac{36}{5}=7.2$，
根据垂径定理，CE垂直平分AD，即$AD=2AE$，
在Rt△ACE中，$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{9^2-7.2^2}=\sqrt{29.16}=5.4$，
∴$AD=2×5.4=10.8$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型基础题，解题的核心是利用垂径定理作出弦心距，将弦长计算转化为直角三角形内的边长求解，同时结合面积法求斜边上的高，可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
