5. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$OD⊥ AB$，$OE⊥ AC$，垂足分别为D，E. DE与BC有何关系？说明理由.
答案：解：$DE // BC$，且$DE = \frac{1}{2}BC$，理由如下：
$\because OD ⊥ AB$，$OD$是$\odot O$的半径，
由垂径定理可得：$D$是$AB$的中点，即$AD = DB$。
同理，$\because OE ⊥ AC$，$OE$是$\odot O$的半径，
$\therefore E$是$AC$的中点，即$AE = EC$。
$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore DE // BC$，且$DE = \frac{1}{2}BC$。
解析：
【分析】
解题时先从已知条件入手：OD过圆心O且垂直AB、OE过圆心O且垂直AC，首先可联想到垂径定理，由此推出D、E分别是AB、AC的中点；此时DE为△ABC两边中点的连线，也就是三角形的中位线，再结合三角形中位线的性质，就能直接得出DE与BC的位置关系和数量关系。
【解析】
解：$DE // BC$，且$DE = \frac{1}{2}BC$，理由如下：
$\because OD ⊥ AB$，$OD$是$\odot O$的半径，
由垂径定理可得：$D$是$AB$的中点，即$AD = DB$。
同理，$\because OE ⊥ AC$，$OE$是$\odot O$的半径，
$\therefore E$是$AC$的中点，即$AE = EC$。
$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore DE // BC$，且$DE = \frac{1}{2}BC$。
【答案】
$DE // BC$，且$DE = \frac{1}{2}BC$
【知识点】
1.垂径定理 2.三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何基础应用题，主要考查圆的性质与三角形性质的结合运用，解题突破口是利用垂径定理得到线段中点，进而通过中位线定理推导结论，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.8
6. 如图，杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱宸桥，桥面呈拱形.该桥最中间拱洞的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）约为3.2 m，拱高（桥拱圆弧的中点到圆弧所对的弦的距离）约为2 m，求此桥拱的半径.
答案：解：设桥拱圆弧所在圆的圆心为O，半径为r m，桥拱圆弧所对的弦为AB，点C为桥拱圆弧的中点。
连接OC，交AB于点D，连接OA。
由垂径定理推论可知：OC⊥AB，$AD=\frac{1}{2}AB$。
由题意得$AB=3.2\ \mathrm{m}$，$CD=2\ \mathrm{m}$，
∴ $AD=\frac{1}{2}×3.2=1.6\ \mathrm{m}$，
$OD=OC-CD=(r-2)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$
即 $r^2=1.6^2+(r-2)^2$
展开得 $r^2=2.56+r^2-4r+4$
化简得 $4r=6.56$
解得 $r=1.64$
答：此桥拱的半径为$1.64\ \mathrm{m}$。
解析：
【分析】
这是一道结合生活实际的圆的计算类题目，解题思路如下：首先将桥拱抽象为圆的一段弧，跨径对应弧所对的弦长，拱高对应圆弧中点到弦的距离。根据垂径定理的推论，圆弧中点与圆心的连线垂直平分弦，因此我们可以通过作辅助线构造直角三角形，把半径、半弦长、半径与拱高的差作为直角三角形的三条边，再利用勾股定理列方程，即可求出半径。
【解析】
设桥拱圆弧所在圆的圆心为O，半径为r m，桥拱圆弧所对的弦为AB，点C为桥拱圆弧的中点。
连接OC，交AB于点D，连接OA。
由垂径定理推论可知：OC⊥AB，$AD=\frac{1}{2}AB$。
由题意得$AB=3.2\ \mathrm{m}$，$CD=2\ \mathrm{m}$，
∴ $AD=\frac{1}{2}×3.2=1.6\ \mathrm{m}$，
$OD=OC-CD=(r-2)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$
即 $r^2=1.6^2+(r-2)^2$
展开得 $r^2=2.56+r^2-4r+4$
化简得 $4r=6.56$
解得 $r=1.64$
答：此桥拱的半径为$1.64\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boxed{1.64\ \mathrm{m}}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的实际应用
【点评】
本题以生活中的拱桥为背景，考查圆的相关计算，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，能够很好地锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图,点P是⊙O内一定点.
(1) 过点P作弦AB,使点P是AB的中点(不写作法,保留作图痕迹).
(2) 已知⊙O的半径为13,OP=5.
① 求过点P的弦的长度m范围.
② 过点P的弦中,长度为整数的弦有
条.
答案：解：
(1) 连接OP，过点P作AB⊥OP，交⊙O于A、B两点，弦AB即为所求，保留作图痕迹。
(2) ① 过点P的最长弦为⊙O的直径，长度为$2×13=26$。
连接OA，由垂径定理，过点P且垂直于OP的弦是过点P的最短弦：
$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
则最短弦长$AB=2AP=24$。
因此过点P的弦的长度$m$的范围是$\boldsymbol{24≤ m≤26}$。
② $\boldsymbol{4}$
解析：
【分析】
(1) 要作过点P且P为AB中点的弦，可结合圆的性质推导：垂直于圆心与圆内定点连线的弦，会被该定点平分，因此先连接OP，再过P作OP的垂线，与圆交于两点，所得弦即为所求。
(2) ① 过圆内一点的弦中，最长弦为圆的直径，最短弦为过该点且垂直于圆心与该点连线的弦，分别计算最长、最短弦的长度即可得到弦长的取值范围；② 先找出取值范围内的整数弦长，再结合圆的对称性统计每种长度的弦的数量，求和即可得到总条数。
【解析】
(1) 作图步骤：连接OP，过点P作直线$AB⊥ OP$，交$\odot O$于A、B两点，弦AB即为所求（保留作图痕迹）。
(2) ① 过点P的最长弦为$\odot O$的直径，直径长度为$2×13=26$；
连接OA，$\because AB⊥ OP$，由垂径定理可知P为AB的中点，
在$Rt△ OPA$中，$OA=13$，$OP=5$，根据勾股定理得：
$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
因此最短弦长$AB=2AP=24$，
综上，过点P的弦的长度m的范围是$24≤ m≤26$。
② 弦长m为整数时，m可取24、25、26：
长度为24的弦只有垂直于OP的1条；长度为26的弦只有过点P的直径1条；长度为25的弦，根据圆的对称性，在OP两侧各有1条，共2条；
总条数为$1+2+1=4$条。
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) ① $\boldsymbol{24≤ m≤26}$；② $\boldsymbol{4}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的弦的性质
【点评】
本题考查圆内过定点的弦的相关计算，解题核心是掌握过圆内定点的弦的最值规律，统计整数弦条数时需结合圆的对称性分析，避免漏算对称的弦。
【难度系数】
0.6
