1. 如图，点A,B,C都在$\odot O$上，若$∠ ACB=36°$，则$∠ AOB=$
$°$，$∠ OAB=$
$°$.
答案：$\boldsymbol{72}$，$\boldsymbol{54}$。
解析：
【分析】
解题时先梳理已知角和待求角的关系：1. 已知∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理可直接求出∠AOB的度数；2. 由于OA、OB都是圆O的半径，故△OAB为等腰三角形，已知顶角∠AOB的度数，结合三角形内角和定理即可求出底角∠OAB的度数。
【解析】
1. 求∠AOB的度数：
∵ ∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍
∴ ∠AOB = 2∠ACB = 2×36° = 72°
2. 求∠OAB的度数：
∵ OA、OB都是⊙O的半径
∴ OA = OB，即△OAB是等腰三角形，∠OAB = ∠OBA
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OAB = (180° - ∠AOB)÷2 = (180° - 72°)÷2 = 54°
【答案】
72，54
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆的基础题型，核心考查圆周角定理与等腰三角形性质的结合应用，掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.85
2. 如图,点A,B,C,D在$\odot O$上,AB,CD相交于点P,$\overset{\frown}{AD}$的度数为$100°$,$\overset{\frown}{BC}$的度数为$50°$,则$∠ ABD=$
$°$,$∠ BDC=$
$°$,$∠ APD=$
$°$.
答案：解：
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
∵ $\overset{\frown}{AD}$的度数为$100°$，∠ABD是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，
∴ $∠ ABD = \frac{1}{2} × 100° = 50°$。
∵ $\overset{\frown}{BC}$的度数为$50°$，∠BDC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴ $∠ BDC = \frac{1}{2} × 50° = 25°$。
∵ ∠APD是△BDP的外角，
∴ $∠ APD = ∠ ABD + ∠ BDC = 50° + 25° = 75°$。
答案依次为：$\boldsymbol{50}$，$\boldsymbol{25}$，$\boldsymbol{75}$。
解析：
【分析】
解题时先依据圆周角定理分析各角对应的弧：首先求∠ABD，先确定∠ABD所对的弧是$\overset{\frown}{AD}$，已知$\overset{\frown}{AD}$的度数，直接用圆周角定理即可计算；接着求∠BDC，同理找到∠BDC所对的弧是$\overset{\frown}{BC}$，用圆周角定理计算；最后求∠APD，观察发现∠APD是△BDP的外角，根据三角形外角性质，将前两步求出的两个角度相加即可得到结果。
【解析】
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
1. 计算∠ABD：
∵ $\overset{\frown}{AD}$的度数为$100°$，∠ABD是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，
∴ $∠ ABD = \frac{1}{2} × 100° = 50°$。
2. 计算∠BDC：
∵ $\overset{\frown}{BC}$的度数为$50°$，∠BDC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴ $∠ BDC = \frac{1}{2} × 50° = 25°$。
3. 计算∠APD：
∵ ∠APD是△BDP的外角，根据三角形外角性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ $∠ APD = ∠ ABD + ∠ BDC = 50° + 25° = 75°$。
【答案】
50，25，75
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题型，解题的关键是准确找到圆周角对应的弧，再结合三角形外角性质完成计算，熟练掌握圆周角和弧的度数对应关系是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
3. 如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ BOC=120°$，$CD⊥ AB$，则$∠ ABD$的度数是 （
）
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
答案：B
解析：
【分析】
解题可按以下思路展开：第一步，回忆垂径定理，AB是圆O的直径且垂直于弦CD，可推出弧AC和弧AD相等；第二步，结合平角的性质，已知∠BOC=120°，可求出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数，也就得到了弧AD的度数；第三步，回忆圆周角定理，圆周角的度数等于它所对应弧的圆心角度数的一半，∠ABD是弧AD对应的圆周角，代入数值即可求出结果。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，且$CD⊥AB$，
根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$。
∵$∠BOC=120°$，$∠AOC+∠BOC=180°$，
∴$∠AOC=180°-120°=60°$，即$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角为60°，
∴$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角也为60°。
∵$∠ABD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，根据圆周角定理：
$∠ABD=\frac{1}{2}×60°=30°$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础性质的典型应用题，解题关键是结合垂径定理得到等弧，再找准圆周角对应的弧和对应圆心角的关系，熟练掌握相关基础性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
4. 如图，将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为$15°$，$85°$，则$∠ ACB$的度数是（
）
A.$20°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$
答案：C
解析：
【分析】
解题思路：首先确定量角器的中心为半圆的圆心，点A、B的读数差就是弧AB所对的圆心角的度数，再结合圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），即可求出∠ACB的度数。
【解析】
设量角器的圆心为点O，连接OA、OB：
1. 计算弧AB对应的圆心角：由点A、B的读数分别为$15°$、$85°$，可得圆心角$∠ AOB = 85° - 15° = 70°$；
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，$∠ ACB$是弧AB所对的圆周角，因此$∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×70° = 35°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理、角度测量
【点评】
本题是圆周角定理的实际应用类题目，解题核心是将量角器的读数差转化为对应圆心角的度数，再结合圆周角的性质计算，考查了知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
