【分析】
解题可按以下思路推导：首先回忆圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。第一步先由已知的$\overset{\frown}{AC}$的度数求出它对应的圆周角$∠AQC$；第二步利用$AQ// CD$的内错角相等，得到$∠QCD$的度数，而$∠QCD$是$\overset{\frown}{DQ}$所对的圆周角，反过来可求出$\overset{\frown}{DQ}$的度数；第三步结合$\overset{\frown}{BQ}=2\overset{\frown}{DQ}$的条件算出$\overset{\frown}{BQ}$的度数，再用圆周角定理求出$\overset{\frown}{BQ}$所对的圆周角$∠BAQ$；最后再利用$AQ// CD$的同位角相等，即可得到$∠P$的度数。
【解析】
∵ $\overset{\frown}{AC}$的度数为$36°$，$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角为$∠ AQC$，
∴ $∠ AQC = \frac{1}{2} × 36° = 18°$。
∵ $AQ// CD$，
∴ $∠ QCD = ∠ AQC = 18°$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $∠ QCD$是$\overset{\frown}{DQ}$所对的圆周角，
∴ $\overset{\frown}{DQ}$的度数为$2∠ QCD = 36°$。
又
∵ $\overset{\frown}{BQ}=2\overset{\frown}{DQ}$，
∴ $\overset{\frown}{BQ}$的度数为$2×36° = 72°$。
∵ $∠ BAQ$是$\overset{\frown}{BQ}$所对的圆周角，
∴ $∠ BAQ = \frac{1}{2} × 72° = 36°$。
∵ $AQ// CD$，即$AQ// PD$，直线$PB$截$AQ$、$PD$于点$A$、$P$，
∴ $∠ P = ∠ BAQ$（两直线平行，同位角相等）。
∴ $∠ P = 36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
圆周角定理；平行线的性质；弧与圆周角的对应关系
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题核心是灵活运用平行线的性质完成角的转移，结合圆周角定理实现弧的度数和圆周角度数的相互转化，需要熟练掌握弧、圆周角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7

【分析】
要探究$GE+FH$的最大值，首先观察线段之间的数量关系：$GH=GE+EF+FH$，因此可将$GE+FH$转化为$GH-EF$，只需先确定$EF$是否为定值，再求出$GH$的最大值即可。首先根据圆周角定理由$∠ACB$的度数求出对应的圆心角$∠AOB$的度数，判断$△ AOB$的形状得到$AB$的长度；再利用三角形中位线定理推导$EF$的长度，确认$EF$为定值；最后结合圆中最长的弦是直径的性质，得到$GH$的最大值，代入即可求出$GE+FH$的最大值。
【解析】
解：连接$OA$、$OB$。
$\because ∠ACB=30°$，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠AOB=2∠ACB=60°$。
又$\because OA=OB=4$（圆的半径相等），
$\therefore △ AOB$是等边三角形，
$\therefore AB=OA=4$。
$\because$点$E$，$F$分别是$AC$，$BC$的中点，
$\therefore EF$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore EF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$。
$\because$弦$GH$满足$GH=GE+EF+FH$，
$\therefore GE+FH=GH-EF=GH-2$。
$\because$圆内最长的弦是直径，$\odot O$半径为4，直径长为8，
$\therefore$当$GH$为$\odot O$的直径时，$GH$取得最大值8，
此时$GE+FH$的最大值为$8-2=6$。
【答案】
$GE+FH$的最大值为6
【知识点】
圆周角定理，三角形中位线定理，圆的弦的性质
【点评】
本题属于几何最值类问题，核心是运用转化思想，将所求线段和转化为可求最值的弦长与定值的差，综合考查了圆周角、三角形中位线及圆的基本性质，解题的关键是明确$EF$为定值，且圆中最长弦为直径。
【难度系数】
0.6