【分析】
要判断△ABC的形状，可从边的等量关系入手分析。首先已知AB是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，因此先作辅助线连接AD，可得到AD⊥BC的结论。再结合已知条件BD=DC，可知AD是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可推出AB=AC，即可判断出△ABC的形状。
【解析】
解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
连接$AD$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，$D$是$\odot O$上的点，
∴ $∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
即 $AD⊥ BC$。
又
∵ $DC=BD$，
∴ $AD$垂直平分线段$BC$，
∴ $AB=AC$，
∴ $△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
$△ ABC$是等腰三角形
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 线段垂直平分线性质
3. 等腰三角形判定
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，解题关键是掌握“遇直径构造直径所对直角”的常用辅助线思路，结合基础的几何性质即可快速求解，侧重考察基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.8

【分析】
要求∠BAD的度数，首先观察图形特征：AB是半圆的直径，根据直径所对圆周角为直角的性质，可连接BD构造Rt△ABD，此时只要算出∠ABD的度数，就能利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD。已知D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，根据等弧所对的圆周角相等，可得BD平分∠ABC，结合已知∠ABC=50°，即可求出∠ABD的度数，最终算出∠BAD。
【解析】
连接BD。
∵ AB是半圆的直径，
∴ ∠ADB = 90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵ D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{CD}$，
∴ ∠ABD = ∠CBD（等弧所对的圆周角相等）。
∵ ∠ABC = 50°，
∴ ∠ABD = $\frac{1}{2}$∠ABC = 25°。
在Rt△ABD中，∠BAD = 90° - ∠ABD = 90° - 25° = 65°。
【答案】
65°
【知识点】
直径所对圆周角性质；等弧对等圆周角；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角相关性质的基础应用题，解题的关键是合理添加辅助线构造直角三角形，结合弧中点的性质完成角度转化，属于角度计算的常规题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）判断四点共圆可依据圆的定义：若平面内四个点到同一个点的距离相等，则这四个点在同一个圆上。本题中BD、CE是三角形的高，可得△BDC、△BEC均为直角三角形，结合“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，取BC中点O，即可证明O到B、C、D、E四点的距离相等，从而判断四点共圆。
（2）要证明∠ADE=∠ABC，先由（1）的四点共圆结论，根据圆内接四边形对角互补可得∠ABC与∠EDC互补；再结合∠ADE与∠EDC是邻补角也互补，根据“同角的补角相等”即可推出两个角相等。
【解析】
(1) 点B，C，D，E四点在同一个圆上，理由如下：
取BC的中点O，连接OD，OE。
∵ BD，CE是锐角三角形ABC的高，
∴ ∠BDC=∠BEC=90°。
在Rt△BDC中，O是斜边BC的中点，
∴ $OD=\frac{1}{2}BC=OB=OC$。
在Rt△BEC中，O是斜边BC的中点，
∴ $OE=\frac{1}{2}BC=OB=OC$。
∴ OB=OC=OD=OE，
∴ 点B，C，D，E在以O为圆心，OB为半径的同一个圆上。
(2) 证明：由(1)得，点B，C，D，E四点共圆，
∴ 四边形BCDE是圆内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠EDC = 180°。
又
∵ 点A，D，C共线，
∴ ∠ADE + ∠EDC = 180°。
∴ ∠ADE=∠ABC。
【答案】
(1) 点B，C，D，E四点在同一个圆上；
(2) ∠ADE=∠ABC，证明成立。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、四点共圆的判定、圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，解题关键是利用直角三角形斜边中线的性质构造出四点共圆的圆心，再结合圆内接四边形的性质和补角的性质完成角的等量推导，有助于学生理解四点共圆的判定方法和应用场景。
【难度系数】
0.7