【分析】
本题考查完全平方公式的应用，属于配方法的基础题型。解题思路是利用完全平方公式的结构特征：$(x \pm m)^2 = x^2 \pm 2mx + m^2$，对比给定的左边式子，一次项系数对应$\pm 2m$，因此先计算一次项系数的一半得到$m$，再计算$m$的平方就是需要补充的常数项，右边括号内的数就是$m$，注意要和一次项的符号对应。
【解析】
依据完全平方公式$(x+m)^2 = x^2 + 2mx + m^2$逐个推导：
(1) 一次项系数为$-16$，则$2m=-16$，解得$m=-8$，$m^2=(-8)^2=64$，因此$x^2 -16x +64=(x-8)^2$；
(2) 一次项系数为$8$，则$2m=8$，解得$m=4$，$m^2=4^2=16$，因此$x^2 +8x +16=(x+4)^2$；
(3) 一次项系数为$-3$，则$2m=-3$，解得$m=-\frac{3}{2}$，$m^2=(-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，因此$x^2 -3x +\frac{9}{4}=(x-\frac{3}{2})^2$；
(4) 一次项系数为$\frac{1}{2}$，则$2m=\frac{1}{2}$，解得$m=\frac{1}{4}$，$m^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，因此$x^2 +\frac{1}{2}x +\frac{1}{16}=(x+\frac{1}{4})^2$；
(5) 一次项系数为$b$，则$2m=b$，解得$m=\frac{b}{2}$，$m^2=(\frac{b}{2})^2=\frac{b^2}{4}$，因此$x^2 +bx +\frac{b^2}{4}=(x+\frac{b}{2})^2$；
(6) 一次项系数为$-\frac{b}{a}$，则$2m=-\frac{b}{a}$，解得$m=-\frac{b}{2a}$，$m^2=(-\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}$，因此$x^2 -\frac{b}{a}x +\frac{b^2}{4a^2}=(x+(-\frac{b}{2a}))^2$。
【答案】
(1) $64$，$8$；
(2) $16$，$4$；
(3) $\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$；
(4) $\frac{1}{16}$，$\frac{1}{4}$；
(5) $\frac{b^2}{4}$，$\frac{b}{2}$；
(6) $\frac{b^2}{4a^2}$，$-\frac{b}{2a}$
【知识点】
完全平方公式，配方法，代数式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础训练，重点考查对完全平方公式结构的掌握，解题关键是牢记配方时常数项为一次项系数一半的平方，注意符号的对应关系，是后续解一元二次方程、二次函数相关题型的重要基础。
【难度系数】
0.85

【分析】
本题考查配方法解一元二次方程，解题思路遵循配方法的常规步骤：首先观察方程，二次项系数已经为1，无需额外处理；接下来将常数项移到等号右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后化简右侧的常数即可得到变形后的结果，对应选项选出答案。
【解析】
解：对原方程$x^2 + 6x + 8 = 0$进行变形：
1. 移项，将常数项移到方程右侧：
$x^2 + 6x = -8$
2. 配方，一次项系数为6，其一半的平方为$(\frac{6}{2})^2=9$，给方程左右两边同时加9：
$x^2 + 6x + 9 = -8 + 9$
3. 将左侧写成完全平方式，右侧合并常数项：
$(x+3)^2 = 1$
因此变形结果正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心是熟练掌握配方法的操作步骤，解题时需注意移项要变号，配方时方程左右两边要同时加同一个常数，避免只给左侧加而漏加右侧的情况。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题可通过两种思路求解：思路1：正向遵循配方法解一元二次方程的步骤处理原方程，将左边配方为完全平方式后，和题目给出的开方结果对比，建立关于q的方程求解；思路2：将题目给出的开方结果两边平方，还原得到配方后的方程，展开整理后与原方程对比常数项，直接得到q的值，核心是掌握配方法的基本流程和完全平方公式的结构。
【解析】
方法一（正向配方法）：
对原方程$x^2 -4x + q=0$移项，得：
$x^2 -4x = -q$
方程两边同时加一次项系数一半的平方，即$(\frac{-4}{2})^2=4$，得：
$x^2 -4x +4 = 4 - q$
左边整理为完全平方式：
$(x-2)^2 = 4 - q$
两边开平方得$x-2=\pm\sqrt{4 - q}$
结合题意开方结果为$x-2=\pm\sqrt{6}$，可得：
$4 - q = 6$
解得$q=4-6=-2$
方法二（逆推法）：
已知$x-2=\pm\sqrt{6}$，两边同时平方得：
$(x-2)^2 = 6$
展开左边得$x^2 -4x +4 = 6$
移项整理为一般形式：$x^2 -4x -2 = 0$
和原方程$x^2 -4x + q=0$对比常数项，得$q=-2$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法解一元二次方程的操作步骤，只要熟练掌握完全平方公式的结构，仔细计算即可快速得分。
【难度系数】
0.8

【分析】
解决本题需先掌握配方法解一元二次方程的步骤：第一步移项，将常数项移到等号右侧；第二步配方，根据等式的基本性质，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方；第三步将左侧化为完全平方式，再用直接开平方法求解。逐行核对小明的步骤：步骤①移项操作正确；步骤②中小明仅在等号左侧加了一次项系数一半的平方（即4），右侧没有加4，违背了等式的基本性质，因此求解过程从步骤②开始出错，后续按正确的配方法步骤计算即可得到正确解。
【解析】
小明的错误原因：配方时未遵守等式的基本性质，仅左侧加常数项，右侧漏加，故从步骤②开始出错。
正确解题过程：
移项，得$x^2 - 4x = 9$，
配方，得$x^2 - 4x + 4 = 9 + 4$，
即$(x-2)^2 = 13$，
开平方，得$x-2 = \pm\sqrt{13}$，
所以$x_1 = 2+\sqrt{13}$，$x_2 = 2-\sqrt{13}$。
【答案】
②；$x_1=2+\sqrt{13}$，$x_2=2-\sqrt{13}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的规范步骤，常见错误是配方时遗漏给等号右侧加相同的常数项，解题时需牢记等式两边变形要保持一致，避免此类失误。
【难度系数】
0.7