5. 如图，AB与$\odot O$相切于点A，直线BO交$\odot O$于点C，D，且$OD=BD$，$AB=3\sqrt{3}$。
(1) 求$\odot O$的半径；
(2) 求$∠ ACB$的度数；
(3) 求图中阴影部分的面积(结果保留$π$)。
答案：解：
(1) 连接OA，
∵ AB与⊙O相切于点A，
∴ OA⊥AB，即∠OAB=90°。
∵ OD是⊙O的半径，∴ OD=OA，
又∵ OD=BD，∴ OB=OD+BD=2OD=2OA。
设⊙O的半径为r，则OA=r，OB=2r，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：
$OA^2 + AB^2 = OB^2$
即 $r^2 + (3\sqrt{3})^2 = (2r)^2$，
解得 $r=3$（$r=-3$舍去），
∴ ⊙O的半径为3。
(2) 在Rt△OAB中，OB=2OA，
∴ $\sin B = \frac{OA}{OB} = \frac{1}{2}$，
∴ ∠B=30°，
∴ ∠AOB=90°-∠B=60°，
∵ OA=OC，
∴ ∠ACB=∠OAC，
又∵ ∠AOB是△AOC的外角，
∴ ∠AOB=∠ACB+∠OAC=2∠ACB，
∴ ∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°。
(3) $S_{△ OAB} = \frac{1}{2} × AB × OA = \frac{1}{2} × 3\sqrt{3} × 3 = \frac{9\sqrt{3}}{2}$，
扇形OAD的圆心角∠AOD=60°，半径r=3，
∴ $S_{\mathrm{扇形}OAD} = \frac{60π × 3^2}{360} = \frac{3π}{2}$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ OAB} - S_{\mathrm{扇形}OAD} = \frac{9\sqrt{3}}{2} - \frac{3π}{2} = \frac{9\sqrt{3}-3π}{2}$。
解析：
【分析】
(1) 遇到圆的切线问题，优先连接切点和圆心得到垂直关系，构造直角三角形。本题连接OA后得到Rt△OAB，结合OD=BD可推出OB=2OA，设半径为r，利用勾股定理列方程即可求解半径。
(2) 在Rt△OAB中，根据直角三角形边角关系先求出∠B和∠AOB的度数，再利用等腰三角形性质和三角形外角的性质，即可求出∠ACB的度数。
(3) 阴影部分为不规则图形，采用割补法，用△OAB的面积减去扇形OAD的面积即可，分别代入对应公式计算即可。
【解析】
(1) 连接OA，
∵ AB与$\odot O$相切于点A，
∴ OA⊥AB，即$∠ OAB=90°$。
∵ OD是$\odot O$的半径，
∴ $OD=OA$，
又
∵ $OD=BD$，
∴ $OB=OD+BD=2OD=2OA$。
设$\odot O$的半径为r，则$OA=r$，$OB=2r$，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：
$OA^2 + AB^2 = OB^2$
即 $r^2 + (3\sqrt{3})^2 = (2r)^2$，
解得 $r=3$（$r=-3$舍去），
∴ $\odot O$的半径为3。
(2) 在Rt△OAB中，$OB=2OA$，
∴ $\sin B = \frac{OA}{OB} = \frac{1}{2}$，
∴ $∠ B=30°$，
∴ $∠ AOB=90°-∠ B=60°$，
∵ $OA=OC$，
∴ $∠ ACB=∠ OAC$，
又
∵ $∠ AOB$是△AOC的外角，
∴ $∠ AOB=∠ ACB+∠ OAC=2∠ ACB$，
∴ $∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=30°$。
(3) $S_{△ OAB} = \frac{1}{2} × AB × OA = \frac{1}{2} × 3\sqrt{3} × 3 = \frac{9\sqrt{3}}{2}$，
扇形OAD的圆心角$∠ AOD=60°$，半径$r=3$，
∴ $S_{\mathrm{扇形}OAD} = \frac{60π × 3^2}{360} = \frac{3π}{2}$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ OAB} - S_{\mathrm{扇形}OAD} = \frac{9\sqrt{3}}{2} - \frac{3π}{2} = \frac{9\sqrt{3}-3π}{2}$。
【答案】
(1) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{3}$；
(2) $∠ ACB$的度数为$\boldsymbol{30°}$；
(3) 阴影部分的面积为$\boldsymbol{\frac{9\sqrt{3}-3π}{2}}$。
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；扇形面积计算
【点评】
本题是圆的综合基础题，涉及切线性质、直角三角形性质、等腰三角形性质、扇形面积计算等内容，解题的关键是熟练掌握切线相关辅助线的作法，灵活运用割补法求解不规则图形的面积。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$\odot O$中，直径$AB=10$，弦$CD// AB$，$CD=\sqrt{2}OB$，连接$CB$，$DB$，求阴影部分的面积（结果保留$π$）。
答案：解：
连接OC，OD。
∵ 直径AB=10，
∴ OC=OD=OB=5，
∴ CD=√2 OB=5√2。
在△OCD中，OC² + OD² = 5² + 5² = 50，CD²=(5√2)²=50，
∴ OC² + OD² = CD²，
∴ ∠COD=90°。
∵ CD//AB，
∴ 点B和点O到弦CD的距离相等，可得S△BCD = S△OCD，
∴ 阴影部分的面积 = S扇形COD = $\frac{90π × 5^2}{360} = \frac{25π}{4}$。
答：阴影部分的面积为$\frac{25π}{4}$。
解析：
【分析】
要求不规则阴影部分的面积，优先考虑割补法转化为规则图形的面积计算。首先观察到CD//AB，可联想到平行线间距离处处相等，那么同以CD为底的△BCD和△OCD高相等、面积相等，这样阴影部分面积就能转化为扇形COD的面积。接下来只需先根据直径求出半径，再结合CD的长度用勾股定理逆定理判断△COD的形状得到圆心角度数，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接OC，OD。
∵ 直径$AB=10$，
∴ $OC=OD=OB=\frac{1}{2}AB=5$，
∴ $CD=\sqrt{2}OB=5\sqrt{2}$。
在$△ OCD$中，$OC^2 + OD^2 = 5^2 + 5^2 = 50$，$CD^2=(5\sqrt{2})^2=50$，
∴ $OC^2 + OD^2 = CD^2$，由勾股定理的逆定理可得$∠ COD=90°$。
∵ $CD// AB$，
∴ 点B和点O到弦CD的距离相等，因此$△ BCD$和$△ OCD$同底$CD$、高相等，故$S_{△ BCD} = S_{△ OCD}$，
∴ 阴影部分的面积 = $S_{扇形COD}$ = $\frac{90π × 5^2}{360} = \frac{25π}{4}$。
【答案】
$\frac{25π}{4}$
【知识点】
等积变换；勾股定理逆定理；扇形面积计算
【点评】
本题是典型的不规则图形面积计算问题，解题核心是利用平行线的性质完成等积转化，将复杂的阴影面积转化为易求的扇形面积，同时考查了勾股定理逆定理和扇形面积公式的应用，掌握割补、等积转化的思想是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
