【分析】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题，解题可从两个思路切入：①利用垂径定理：圆心到弦的垂线平分弦，分别过圆心作x轴、y轴的垂线，可得垂足分别是弦OB、OA的中点，结合A、B坐标即可求出圆心坐标；②利用圆的性质：圆心到圆上任意点的距离相等，设出圆心坐标，根据两点间距离公式列方程求解即可。
【解析】
解法1：过点P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥y轴于点N。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此M是OB的中点，N是OA的中点。
已知A(0,6)，B(8,0)，则OA=6，OB=8，
∴$\displaystyle OM=\frac{1}{2}OB=4$，$\displaystyle ON=\frac{1}{2}OA=3$。
∵PM⊥x轴、PN⊥y轴，∠MON=90°，
∴四边形PMON是矩形，点P的横坐标等于OM的长度，纵坐标等于ON的长度，即P(4,3)。
解法2：设圆心P的坐标为(x,y)，
∵P是⊙P的圆心，点A、O、B都在圆上，
∴PA=PO=PB，根据两点间距离公式得：
$PO^2=x^2+y^2$，$PB^2=(x-8)^2+y^2$，$PA^2=x^2+(y-6)^2$
由PO=PB得：$x^2+y^2=(x-8)^2+y^2$，化简得$x^2=(x-8)^2$，解得x=4；
由PO=PA得：$x^2+y^2=x^2+(y-6)^2$，化简得$y^2=(y-6)^2$，解得y=3；
∴圆心P的坐标为(4,3)。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；圆的基本性质；平面直角坐标系
【点评】
本题属于圆与坐标系结合的常规题型，解题核心是灵活运用圆的相关性质建立坐标间的关系，两种解法分别从几何性质和代数计算角度出发，都能快速得到结果，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断直线PQ与$\odot O$的位置关系，已知点P在$\odot O$上，根据切线的判定定理，只需连接半径OP，证明$OP⊥ PQ$即可。首先根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，可得$∠ BPC=90°$，即$△ APC$是直角三角形；再结合Q是AC中点，利用直角三角形斜边中线的性质可得$PQ=CQ$，推出$∠ QPC=∠ QCP$；再由半径相等得$OP=OC$，故$∠ OPC=∠ OCP$；最后利用$∠ BCA=90°$，通过角的和差推导得出$∠ OPQ=90°$，即可证明PQ是$\odot O$的切线。
【解析】
直线PQ与$\odot O$相切，证明如下：
连接$OP$、$CP$。
$\because BC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BPC = 90°$，
$\therefore ∠ APC = 180° - ∠ BPC = 90°$。
$\because Q$是$AC$的中点，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ APC$中，$PQ = CQ = \frac{1}{2}AC$，
$\therefore ∠ QPC = ∠ QCP$。
$\because OP = OC$，
$\therefore ∠ OPC = ∠ OCP$。
$\because ∠ BCA = 90°$，即$∠ OCP + ∠ QCP = 90°$，
$\therefore ∠ OPC + ∠ QPC = ∠ OPQ = 90°$，即$OP ⊥ PQ$。
又$\because OP$是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 直线$PQ$与$\odot O$相切。
【答案】
直线$PQ$与$\odot O$相切。
【知识点】
切线的判定；直角三角形斜边中线性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查切线的判定思路“连半径、证垂直”，需要学生熟练掌握圆和直角三角形的基本性质，合理添加辅助线推导角的关系，是圆章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
要判断CE和BF是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先根据BC是⊙O的直径，由圆周角定理可得直径所对的圆周角为直角，因此得到∠BAF=∠CAE=90°；再结合BD⊥CE的结论，利用同角的余角相等可推出∠ABF=∠ACE，结合已知的AB=AC的条件，即可证明△ABF≌△ACE，最终由全等三角形的性质得到两条线段的数量关系。
【解析】
CE与BF相等，理由如下：
∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BAC = 90°（直径所对的圆周角是直角），
∴ ∠EAC = 180° - ∠BAC = 90°，
即 ∠BAF = ∠CAE = 90°。
∵ BC是⊙O的直径，点D在⊙O上，
∴ ∠BDC = 90°，即BD⊥CE，
∴ ∠ABF + ∠E = 90°，∠ACE + ∠E = 90°，
∴ ∠ABF = ∠ACE。
在△ABF和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}∠BAF = ∠CAE \\AB = AC \\∠ABF = ∠ACE\end{array} $
∴ △ABF ≌ △ACE（ASA），
∴ CE = BF。
【答案】
CE与BF相等，$\boxed{CE=BF}$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 全等三角形的判定与性质
3. 余角的性质
【点评】
本题属于圆与三角形全等结合的基础题型，解题核心是利用直径的性质得到直角，再通过角的互余关系得到全等所需的等角条件，掌握“证明线段相等优先考虑证三角形全等”的思路可快速找到解题方向。
【难度系数】
0.7