【分析】
解题时先梳理题干条件：AB是⊙O的直径，C为圆上一点，首先结合圆周角定理的推论，可判断直径AB所对的圆周角∠ACB为直角，得到△ABC是直角三角形；再利用三角形内角和为180°的性质，已知∠A的度数，即可计算出∠B的度数。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，
根据圆周角定理推论：直径所对的圆周角为直角，
∴∠ACB=90°。
在△ABC中，内角和为180°，即∠A+∠B+∠ACB=180°，
代入已知∠A=35°，∠ACB=90°，
可得∠B=180°-90°-35°=55°。
【答案】
55
【知识点】
圆周角定理推论；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，考察对基础定理的掌握和应用能力，只要熟练掌握直径所对圆周角的特征，结合三角形内角和知识即可快速得分。
【难度系数】
0.9

【分析】
解决本题首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此我们先连接切点Q与圆心O，可构造出直角三角形OPQ。已知直角三角形的斜边PO和直角边OQ的长度，再利用勾股定理即可求出PQ的长度。
【解析】
连接OQ，
∵PQ是$\odot O$的切线，Q为切点，
∴$OQ⊥ PQ$，即$∠ OQP=90°$。
由题意得，$\odot O$半径$OQ=2$，$PO=4$，
在$Rt△ OPQ$中，根据勾股定理可得：
$PQ=\sqrt{PO^2-OQ^2}$
代入数值计算：
$PQ=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握切线相关辅助线的做法：遇到切点通常连接圆心和切点，构造直角三角形后结合勾股定理计算边长即可。
【难度系数】
0.8

【分析】
要计算∠1+∠2的度数，可结合圆周角定理思考：首先明确圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，先找到∠1、∠2分别对应的弧，再计算两段弧的总度数，最后利用圆周角定理求出两个角的和。观察图形可知AB是圆的直径，直径对应的弧AB是半圆，度数为180°，而∠1对应弧AE，∠2对应弧BE，两段弧相加刚好是弧AB，由此即可算出两个角的和。
【解析】
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
∠1所对的弧是$\overset{\frown}{AE}$，因此$∠ 1=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{AE}$的度数；
∠2所对的弧是$\overset{\frown}{BE}$，因此$∠ 2=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{BE}$的度数。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AB}=180°$，
∴$∠ 1+∠ 2=\frac{1}{2}×(\overset{\frown}{AE}的度数+\overset{\frown}{BE}的度数)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
【答案】
$\boldsymbol{90}$
【知识点】
圆周角定理；直径的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是熟练运用圆周角定理，找到两个角所对的弧之和为半圆，进而求出角度和，掌握圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先从平行条件入手判断四边形OBCD的形状，得到角的等量关系；再结合圆的相关性质建立角度之间的联系，最终通过方程求解即可。具体思路：1. 由OB//DC、OD//BC可判定四边形OBCD是平行四边形，得到∠BOD=∠C；2. 根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠BOD=2∠A，即∠C=2∠A；3. 利用圆内接四边形对角互补的性质，将角的关系代入即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵OB//DC，OD//BC
∴四边形OBCD是平行四边形
∴∠BOD = ∠C
∵∠BOD、∠A分别是弧BD所对的圆心角和圆周角
∴∠BOD = 2∠A，即∠C = 2∠A
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠A + ∠C = 180°
将∠C=2∠A代入得：∠A + 2∠A = 180°
解得∠A = 60°
∴∠BOD = 2∠A = 2×60° = 120°
【答案】
120
【知识点】
平行四边形的判定与性质；圆心角与圆周角的关系；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是平行四边形和圆的性质的综合基础题，解题的关键是梳理清楚不同角之间的等量关系，通过方程思想求解角度，是圆章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先观察图形特征，三个圆半径均为1，阴影部分面积等于三个整圆的面积减去三个圆内空白扇形的面积之和。三个空白扇形的圆心角恰好是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和为180°，可知三个空白扇形拼起来刚好是圆心角为180°的扇形（即半圆），不用单独计算每个扇形的面积，通过整体计算即可简化求解过程。
【解析】
解：
∵ 三角形的三个内角和为$180°$，
∴ 三个圆内空白扇形的圆心角之和为$180°$，
又
∵ $\odot A,\odot B,\odot C$的半径都是1，
∴ 三个空白扇形的面积之和为 $\frac{180π × 1^2}{360} = \frac{π}{2}$，
三个圆的总面积为 $3× π × 1^2 = 3π$，
∴ 阴影部分的面积为 $3π - \frac{π}{2} = \frac{5π}{2}$。
【答案】
$\frac{5π}{2}$
【知识点】
三角形内角和定理，扇形面积计算，圆的面积计算
【点评】
本题运用整体思想，将三个分散的扇形面积通过三角形内角和转化为单个半圆的面积计算，避免了分别计算每个扇形面积的繁琐，是几何面积计算中常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7

【分析】
要推导α与β的数量关系，可先连接辅助线OC：首先利用同圆半径相等的性质，得到△OBC为等腰三角形，先求出弧BC对应的圆心角∠BOC关于α的表达式；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，建立β与∠BOC的关系，最后化简等式即可得到α和β的数量关系。
【解析】
连接OC。
∵ OB、OC均为⊙O的半径，
∴ OB=OC，
∴ ∠OCB=∠OBC=α。
在△OBC中，由三角形内角和为180°可得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-2α。
∵ ∠BAC=β是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ β=$\frac{1}{2}$∠BOC，
将∠BOC=180°-2α代入得：
β=$\frac{1}{2}$×(180°-2α)，
化简得β=90°-α，即α+β=90°。
【答案】
$\boldsymbol{α+β=90°}$
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题型，解题的核心是通过连接半径构造等腰三角形，再利用圆心角与圆周角的对应关系建立两个角的联系，解题思路清晰，属于圆章节的常规考点题。
【难度系数】
0.7