7. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为D，E，F. 若$∠ DOE=120°$，$∠ EOF=150°$，则$△ ABC$的3个内角的度数依次为（
）
A.$90°,60°,30°$
B.$80°,60°,40°$
C.$90°,50°,40°$
D.$80°,70°,30°$
（第7题）
答案：A
解析：
【分析】
解题时首先利用三角形内切圆的性质：圆心到切点的连线垂直于三角形的对应边，可知切点与圆心的连线和三角形的边夹角为90°；再结合周角为360°，先求出未知的圆心角∠DOF的度数；最后在每个由三角形顶点、圆心和两个相邻切点构成的四边形中，利用四边形内角和为360°，即可依次求出△ABC的三个内角。
【解析】
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为D、E、F
∴$OD⊥ AB$，$OE⊥ BC$，$OF⊥ AC$，即$∠ ODB=∠ OEB=∠ OEC=∠ OFC=∠ OFA=∠ ODA=90°$
第一步，计算剩余圆心角$∠ DOF$：
周角为$360°$，已知$∠ DOE=120°$，$∠ EOF=150°$
∴$∠ DOF=360°-∠ DOE-∠ EOF=360°-120°-150°=90°$
第二步，分别求$△ ABC$的三个内角：
1. 在四边形$ODBE$中，内角和为$360°$
$∠ B=360°-∠ ODB-∠ OEB-∠ DOE=360°-90°-90°-120°=60°$
2. 在四边形$OECF$中，内角和为$360°$
$∠ C=360°-∠ OEC-∠ OFC-∠ EOF=360°-90°-90°-150°=30°$
3. 在四边形$ODAF$中，内角和为$360°$
$∠ A=360°-∠ ODA-∠ OFA-∠ DOF=360°-90°-90°-90°=90°$
因此$△ ABC$的三个内角依次为$90°,60°,30°$。
【答案】
A
【知识点】
三角形内切圆性质，四边形内角和，周角定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内切圆的性质，解题的关键是明确圆心和切点的连线与对应边垂直，结合四边形内角和公式即可快速求解，掌握内切圆相关性质就能轻松答题。
【难度系数】
0.75
8. 如图,四边形OABC是菱形,点A,B在扇形OEF的EF上,OA=3,∠1=∠2,则扇形OEF的面积为（
）
A.$\frac{3}{2}π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$\frac{15}{4}π$
答案：C
解析：
【分析】
要计算扇形OEF的面积，需先确定扇形的半径和圆心角的度数，具体思路如下：①由点A、B在扇形弧EF上，可得扇形半径等于OA=3；②结合菱形四边相等的性质，以及OA=OB（同圆半径相等），可推出△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°，再利用菱形对角线平分一组内角的性质，可求出∠AOC=120°；③最后根据∠1=∠2，通过角的等量代换得到扇形的圆心角∠EOF=∠AOC=120°，代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB
∵点A、B在扇形OEF的弧EF上，
∴OA、OB均为扇形半径，即OA=OB=3
∴OA=OB=AB，△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°
∵菱形的对角线平分一组内角，OB是菱形OABC的对角线，
∴∠BOC=∠AOB=60°，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AOF=∠2+∠AOF，即∠EOF=∠AOC=120°
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为扇形半径），将n=120，r=3代入得：
$S_{扇形OEF}=\frac{120π×3^2}{360}=3π$
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；扇形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是通过菱形和等边三角形的性质求出扇形圆心角的度数，再结合扇形面积公式求解，注意角的等量代换的应用。
【难度系数】
0.7
9. 如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（
）
A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{5}$
答案：C
解析：
【分析】
解决圆的折叠问题，首先结合折叠性质分析数量关系：折叠后圆弧过圆心O，说明圆心O到折痕AB的距离等于半径的一半。接下来过O作AB的垂线，结合垂径定理可将求AB长的问题转化为求直角三角形的边长问题，最后用勾股定理计算即可得到结果。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
根据折叠的性质可得：$OC=\frac{1}{2}OA$，
已知圆的半径$OA=2$，因此$OC=1$。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
根据垂径定理，OC垂直平分AB，
因此$AB=2AC=2\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；折叠的性质
【点评】
本题是圆中折叠类的典型题型，解题关键是结合折叠性质得到圆心到折痕的距离，通过作垂线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解，对几何辅助线的构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
10. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D=124°，MN与⊙O相切，切点为C.求∠BCM的度数.
答案：解：
连接OC。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠D = 180°。
∵ ∠D = 124°，
∴ ∠ABC = 180° - 124° = 56°。
∵ OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OB = OC，
∴ ∠OCB = ∠ABC = 56°。
∵ MN与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥MN，即∠OCM = 90°。
∴ ∠BCM = 90° - ∠OCB = 90° - 56° = 34°。
解析：
【分析】
解题时先梳理已知条件：首先看到四边形ABCD是⊙O的内接四边形且已知∠D的度数，可利用圆内接四边形对角互补的性质先求出∠ABC的度数；已知MN是⊙O的切线且切点为C，根据切线的常用辅助线作法，连接OC可得OC⊥MN；再结合OB、OC都是⊙O的半径，可知△OBC是等腰三角形，利用等边对等角求出∠OCB的度数，最后用直角∠OCM减去∠OCB即可求出∠BCM的度数。
【解析】
连接OC。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠D = 180°。
∵ ∠D = 124°，
∴ ∠ABC = 180° - 124° = 56°。
∵ OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OB = OC，
∴ ∠OCB = ∠ABC = 56°。
∵ MN与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥MN，即∠OCM = 90°。
∴ ∠BCM = 90° - ∠OCB = 90° - 56° = 34°。
【答案】
34°
【知识点】
圆内接四边形的性质；切线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆相关性质的基础综合题，解题核心是掌握“过切点连半径得垂直”这一常用辅助线作法，结合圆内接四边形、等腰三角形的角度性质即可逐步推导结果，掌握基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
