【分析】
遇到圆的切线相关计算问题，首先联想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接OB，构造直角三角形OBC。首先在Rt△OBC中，已知OB是半径等于3，BC=4，可先用勾股定理求出OC的长度，进而得到AC的总长度。再根据切线长定理可得PA=PB，且PA垂直于AC，因此△PAC也是直角三角形，此时设PA的长为x，即可用含x的式子表示出PC的长度，最后在Rt△PAC中利用勾股定理列方程求解即可得到PA的长度。
【解析】
连接OB。
∵ PB是$\odot O$的切线，
∴ OB⊥PC，即$∠ OBC=90°$。
在$Rt△ OBC$中，OB=3，BC=4，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴ $AC=AO+OC=3+5=8$。
∵ PA，PB是$\odot O$的切线，
∴ $PA=PB$，且$PA⊥AC$，即$∠ PAC=90°$。
设$PA=x$，则$PB=x$，$PC=PB+BC=x+4$。
在$Rt△ PAC$中，由勾股定理得：
$PA^2 + AC^2 = PC^2$
即$x^2 + 8^2 = (x+4)^2$
展开得$x^2 + 64 = x^2 + 8x + 16$
解得$x=6$。
【答案】
6
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的常规计算题，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合切线的相关性质找到边的数量关系，再利用方程思想求解，熟练掌握切线性质和勾股定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）判断直线与圆的位置关系优先用切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。首先由$DE⊥ AC$可知$△ DCE$是直角三角形，其外接圆直径为斜边$CD$，取$CD$中点$O$（即外接圆圆心），连接$OE$，只需证明$OE⊥ BE$即可。结合直角三角形斜边中线性质、等腰三角形等边对等角、三角形外角和内角和定理推导角度关系即可证明垂直。
（2）设外接圆半径为$r$，用含$r$的式子表示$\mathrm{Rt}△ BEO$的各边长，利用勾股定理列方程求解$r$，再乘2即可得到外接圆直径。
【解析】
(1) $BE$与$△ DCE$的外接圆相切，理由如下：
取$CD$的中点$O$，连接$OE$。
$\because DE$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore DE⊥ AC$，即$∠ DEC=90°$，
$\therefore CD$是$△ DCE$外接圆的直径，点$O$为$△ DCE$外接圆的圆心，
$\therefore OE=OC$，
$\therefore ∠ OEC=∠ C=30°$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$E$是$AC$的中点，
$\therefore BE=EC=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore ∠ EBC=∠ C=30°$，
$\therefore ∠ EOB=∠ OEC+∠ C=60°$，
$\therefore$ 在$△ BOE$中，$∠ BEO=180°-∠ EBO-∠ EOB=180°-30°-60°=90°$，
即$OE⊥ BE$。
又$\because OE$是$△ DCE$外接圆的半径，
$\therefore BE$与$△ DCE$的外接圆相切。
(2) 设$△ DCE$外接圆的半径为$r$，则$OE=OD=r$，
$\therefore OB=BD+OD=1+r$。
$\because ∠ BEO=90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BEO$中，由勾股定理得：
$BE^2 + OE^2 = OB^2$，
代入$BE=\sqrt{3}$，得：
$(\sqrt{3})^2 + r^2 = (1+r)^2$，
即$3 + r^2 = 1 + 2r + r^2$，
解得$r=1$，
$\therefore △ DCE$的外接圆的直径为$2r=2$。
【答案】
（1）$BE$与$△ DCE$的外接圆相切；（2）$△ DCE$的外接圆的直径为$2$
【知识点】
切线的判定；直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，解题关键是正确作出辅助线，结合切线判定定理、直角三角形性质求解，同时运用了方程思想计算半径，是圆的性质应用的典型常规题。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）要判断AC和BD是否相等，可通过证明两条边所在的三角形全等推导。已知两个扇形圆心角均为90°，可得扇形半径OA=OB、OC=OD，再通过角的和差关系推出∠AOC=∠BOD，即可用SAS判定△AOC≌△BOD，从而得到AC=BD。
（2）求OC的长时，先利用全等三角形面积相等的性质，将不规则阴影部分的面积转化为规则图形的面积差：阴影面积=大扇形OAB面积 - 小扇形OCD面积，再代入扇形面积公式和已知条件列方程求解即可。
【解析】
(1) $AC=BD$，理由如下：
$\because ∠ AOB = ∠ COD = 90°$，
$\therefore ∠ AOC + ∠ COB = ∠ BOD + ∠ COB = 90°$，
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOD$。
又$\because OA=OB$，$OC=OD$，
$\therefore △ AOC ≌ △ BOD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AC=BD$。
(2) 由$△ AOC ≌ △ BOD$，得$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$，
因此阴影部分面积满足：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{扇形}OAB} - S_{\mathrm{扇形}OCD}$。
由扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，其中圆心角$n=90°$，$OA=2$，代入已知$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{3}{4}π$：
$\frac{90π · OA^2}{360} - \frac{90π · OC^2}{360} = \frac{3}{4}π$
将$OA=2$代入化简：
$π - \frac{π · OC^2}{4} = \frac{3}{4}π$
两边同除以$π$整理得：$1-\frac{OC^2}{4}=\frac{3}{4}$，
解得$OC^2=1$，由$OC＞0$得$OC=1$。
【答案】
（1）$AC=BD$，理由见解析；（2）$OC$的长为$1$。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 扇形面积计算
3. 割补法求阴影面积
【点评】
本题是几何综合基础题，将全等三角形的判定与扇形面积计算结合考查，解题的核心是利用全等性质实现阴影面积的转化，把不规则图形面积转化为两个规则扇形的面积差，这种转化思想是解决几何面积类问题的常用思路。
【难度系数】
0.7