6. 仿照用配方法解一元二次方程的思想,请解决下列问题:
我们知道$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab^2+3a^2b$,请你利用“配方”,写出一元三次方程$x^3+9x^2+27x=973$的根.(提示:配成“立方和”)
答案：解：
对比完全立方公式$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$，观察方程左边：
$x^3+9x^2+27x = x^3 + 3· x^2·3 + 3· x·3^2$
在方程两边同时加上$3^3=27$，得：
$x^3 + 3· x^2·3 + 3· x·3^2 + 3^3 = 973 + 27$
整理得：
$(x+3)^3 = 1000$
因为$10^3=1000$，所以$x+3=10$
解得$x=7$
解析：
【分析】
本题要求类比配方法解一元二次方程的思路，利用完全立方公式求解三次方程。解题时首先观察方程左边多项式的结构，对比完全立方展开式$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$，确定对应$a=x$，再根据二次项、一次项的系数算出$b=3$，发现左边式子缺少常数项$3^3$即可凑成完全立方，因此在方程两边同时加上缺少的常数项，将左边配成完全立方的形式，再通过开立方降次即可求出方程的根。
【解析】
对比完全立方公式$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$，观察方程左边：
$x^3+9x^2+27x = x^3 + 3· x^2·3 + 3· x·3^2$
在方程两边同时加上$3^3=27$，得：
$x^3 + 3· x^2·3 + 3· x·3^2 + 3^3 = 973 + 27$
整理得：
$(x+3)^3 = 1000$
因为$10^3=1000$（初中阶段仅考虑实数根），所以$x+3=10$
解得$x=7$
【答案】
$x=7$
【知识点】
完全立方公式，配方法，立方根运算
【点评】
本题考查知识的迁移应用能力，解题核心是抓住完全立方公式的结构特征，通过补项凑配将高次方程转化为可直接开方求解的简单方程，体现了数学中降次的核心思想。
【难度系数】
0.6
