4. 某水果公司购进2000箱荔枝，成本核算后为10元/kg，每箱质量为5 kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝.现随机抽取20箱荔枝，去掉损坏的荔枝后称得每箱的质量如下(单位:kg):
4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7
4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0
整理数据:
分析数据:
(1) 直接写出上述表格中a,b,c的值;
(2) 平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势,请根据以上样本数据分析的结果,选择其中一个统计量,估计这2000箱荔枝共损坏了多少千克;
(3) 根据(2)中的结果,求这批荔枝每千克销售价定为多少元才不亏本.(结果保留一位小数)
答案：解：
(1) $a=6$，$b=4.7$，$c=4.75$。
(2) 选择平均数进行估计：
样本平均每箱剩余荔枝质量为$4.75\ \mathrm{kg}$，
平均每箱损坏荔枝质量为$5 - 4.75 = 0.25\ \mathrm{kg}$，
2000箱荔枝总损坏质量约为$2000 × 0.25 = 500\ \mathrm{kg}$。
(3) 这批荔枝的总成本为：
$2000 × 5 × 10 = 100000\ \mathrm{元}$，
剩余可销售荔枝的总质量为：
$2000 × 5 - 500 = 9500\ \mathrm{kg}$，
则不亏本的销售单价为：
$100000 ÷ 9500 \approx 10.6\ \mathrm{元/kg}$。
答：估计这2000箱荔枝共损坏了500千克，这批荔枝每千克销售价定为10.6元才不亏本。
解析：
【分析】
(1) 求a值：统计20个样本数据中质量为4.7kg的出现次数即可得到a；求b值：众数是一组数据中出现次数最多的数值，找出出现频次最高的质量即为众数b；求c值：将20个数据从小到大排序后，取第10、11个数据的平均值就是中位数c。
(2) 可选择平均数作为估计依据，先通过样本得到平均每箱剩余荔枝的质量，计算单箱损坏质量后乘以总箱数2000，即可得到总损坏质量的估计值，也可选择众数、中位数按照相同逻辑估算。
(3) 不亏本即总销售额不低于总成本，先核算这批荔枝的总进货成本，再计算扣除损坏部分后可销售的荔枝总质量，用总成本除以可销售总质量即可得到最低销售单价。
【解析】
(1) 统计样本数据可得质量为4.7kg的共有6个，故$a=6$；数据中4.7出现次数最多，故众数$b=4.7$；将20个数据从小到大排列后，第10个数据为4.7，第11个数据为4.8，故中位数$c=\frac{4.7+4.8}{2}=4.75$。
(2) 选择平均数进行估计：
样本平均每箱剩余荔枝质量为$4.75\ \mathrm{kg}$，
平均每箱损坏荔枝质量为$5 - 4.75 = 0.25\ \mathrm{kg}$，
2000箱荔枝总损坏质量约为$2000 × 0.25 = 500\ \mathrm{kg}$。
(3) 这批荔枝的总成本为：
$2000 × 5 × 10 = 100000\ \mathrm{元}$，
剩余可销售荔枝的总质量为：
$2000 × 5 - 500 = 9500\ \mathrm{kg}$，
则不亏本的销售单价为：
$100000 ÷ 9500 \approx 10.6\ \mathrm{元/kg}$。
【答案】
(1) $a=6$，$b=4.7$，$c=4.75$；
(2) 选择平均数估计时，2000箱荔枝共损坏约500千克；
(3) 每千克销售价至少定为10.6元才不亏本。
【知识点】
频数统计，统计量的含义与计算，用样本估计总体
【点评】
本题结合水果销售的实际场景，既考查了频数、众数、中位数、平均数的基础计算能力，又考查了用样本估计总体的统计思想，还融入了成本核算的实际应用，需要学生在掌握统计基础知识的同时，具备将数学知识与实际问题结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
