1. 某共享单车的收费标准为前$a$ km共收1元,超过$a$ km的里程每千米收2元,若要让使用该共享单车50%的人只花1元钱,$a$应取 (
)
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
答案:B
解析:
【分析】
解题时首先拆解题目核心要求:要让50%的使用共享单车的人只花1元,等价于有50%的人骑行里程不超过a km。接下来逐一回忆各选项统计量的定义和特征,匹配符合“50%的数据小于等于该值”要求的统计量即可。
【解析】
我们逐一分析各选项的统计意义:
A. 平均数:反映一组数据的平均水平,无法保证恰好有50%的数据小于等于平均数,不符合要求;
B. 中位数:将一组数据按大小顺序排列后,处于最中间位置的数(数据个数为偶数时为中间两个数的平均数),其性质是至少有50%的数据小于等于中位数,至少有50%的数据大于等于中位数,恰好符合“让50%的人骑行里程不超过a”的要求;
C. 众数:是一组数据中出现次数最多的数,无法对应50%的占比要求,不符合;
D. 方差:用来衡量一组数据的波动大小,和数据的占比无关,不符合要求。
综上,答案选B。
【答案】
B
【知识点】
中位数的意义;统计量的选择
【点评】
本题考查不同统计量的实际应用,解题关键是准确理解各统计量的含义,结合实际场景的需求选择合适的统计量,属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
2. 某市根据该市中学生体能的实际情况制定体育成绩标准.为此,抽取了500名初中毕业班的女生进行“一分钟仰卧起坐”次数测试,数据如下表:

(1) 求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数.
(2) 根据这一样本数据的特点,你认为该市女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标准应定为多少次较为合适?请简要说明理由.
(3) 根据(2)中你认为合格的标准,估计该市女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格率是多少.
答案:解:
(1) 计算平均数:
$\begin{aligned}\overline{x}&=\frac{6×10 + 12×10 + 15×70 + 18×180 + 20×100 + 25×50 + 27×20 + 30×20 + 32×10 + 35×10 + 36×20}{500}\\&=\frac{10250}{500}\\&=20.5\end{aligned}$
众数:次数为18的人数最多,共180人,因此众数为18。
中位数:将500个数据从小到大排列,中位数为第250、251个数据的平均数,累计人数到次数为18时共有$10+10+70+180=270$,第250、251个数据都为18,因此中位数为18。
(2) 合格标准定为18次较为合适。
理由:样本数据的众数和中位数都是18,大部分女生都能达到18次,以此为合格标准能保证多数学生达标,符合多数学生的实际体能水平。
(3) 次数大于等于18的总人数为:
$180+100+50+20+20+10+10+20=410$
合格率为:$\frac{410}{500}×100\% = 82\%$
答:(1) 平均数为20.5,众数为18,中位数为18;(2) 合格标准定为18次合适,理由如上;(3) 估计该市女生该项目测试的合格率为82%。
解析:
【分析】
(1) 计算三个统计量的思路:①平均数:本题属于加权平均数计算,以各次数对应的人数为权重,先计算所有测试者的总次数,再除以总人数500即可;②众数:找出人数最多的分组对应的次数,即为众数;③中位数:500个数据的中位数是从小到大排列后第250、251个数据的平均值,通过从小到大累加各组人数,确定第250、251个数据所在的次数分组,即可得到中位数。(2) 合格标准需贴合多数学生的实际水平,通常选择众数或中位数作为参考,保证大部分学生可以达标。(3) 统计达到合格标准的总人数,用合格人数除以总人数得到样本合格率,以此估计总体的合格率即可。
【解析】
(1) 计算加权平均数:
$\begin{aligned}\overline{x}&=\frac{6×10 + 12×10 + 15×70 + 18×180 + 20×100 + 25×50 + 27×20 + 30×20 + 32×10 + 35×10 + 36×20}{500}\\&=\frac{10250}{500}\\&=20.5\end{aligned}$
众数:次数为18的对应人数最多,共180人,因此众数为18。
中位数:将500个数据从小到大排列,中位数为第250、251个数据的平均数,累加前四组人数得$10+10+70+180=270$,说明第250、251个数据都属于次数为18的分组,因此中位数为18。
(2) 合格标准定为18次较为合适。理由:样本的众数和中位数都是18,说明大部分女生都能达到18次,以此为合格标准能保证多数学生达标,符合多数学生的实际体能水平。
(3) 次数大于等于18的总人数为:$180+100+50+20+20+10+10+20=410$,
合格率为:$\frac{410}{500}×100\% = 82\%$,因此估计该市女生该项目测试的合格率为82%。
【答案】
(1) 平均数为20.5,众数为18,中位数为18;
(2) 合格标准定为18次较为合适,理由是众数和中位数均为18,多数学生能达到该标准,符合学生体能实际;
(3) 估计该市女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格率为82%。
【知识点】
加权平均数计算;中位数与众数;用样本估计总体
【点评】
本题结合生活实际考查统计知识的应用,既需要掌握各类统计量的计算方法,也需要理解不同统计量的实际意义,能结合具体场景选择合适的统计量解决问题,同时掌握用样本特征估计总体特征的统计思想。
【难度系数】
0.7