1. 第67届国际奥林匹克数学竞赛(IMO)于2026年7月在上海举行.中国队发挥出色,获得团体总分第一名,也是当届比赛中唯一一支所有队员都获得金牌的队伍.中国队参赛队员比赛成绩的方差可用以下公式来计算：
$ S^2 = \frac{1}{6}[(42-\overline{x})^2 + (42-\overline{x})^2 + (42-\overline{x})^2 + (36-\overline{x})^2 + (35-\overline{x})^2 + (35-\overline{x})^2]. $
根据以上信息,下列叙述中错误的是 （
）
A.中国队共有6名同学参赛
B.众数是35
C.中位数是39
D.平均数是38.67
答案：B
解析：
【分析】
这道题考查统计中常见统计量的判断与计算，解题思路如下：第一步，根据方差公式的结构特征，分母对应数据总个数，可直接得出参赛人数，验证A选项；第二步，从方差公式中提取所有队员的比赛成绩，按从小到大排序方便后续计算；第三步，分别计算众数、中位数、平均数，逐一对比选项，找出错误的叙述即可。
【解析】
根据方差公式的定义：$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$为数据总个数，$x_1,x_2\dots x_n$为各数据。
1. 本题中方差公式分母为6，因此中国队共有6名同学参赛，A选项正确，不符合题意；
2. 提取6名队员的成绩，从小到大排序为：35、35、36、42、42、42；
3. 众数是一组数据中出现次数最多的数，42共出现3次，出现次数最多，因此众数为42，B选项错误，符合题意；
4. 6个数据的中位数为排序后第3、第4个数据的平均数，即$\frac{36+42}{2}=39$，C选项正确，不符合题意；
5. 平均数$\overline{x}=\frac{35×2 + 36 + 42×3}{6}=\frac{232}{6}\approx38.67$，D选项正确，不符合题意。
综上，叙述错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
方差的定义；众数与中位数；平均数计算
【点评】
本题结合赛事背景考查统计量的相关知识，难度不大，解题核心是能从方差公式中准确提取有效数据，熟练掌握各统计量的计算规则，注意计算中位数前要先对数据排序，避免计算失误。
【难度系数】
0.75
2. 已知甲、乙两队员的成绩如图，设甲、乙两队员射击成绩的方差分别为$s^2_甲$，$s^2_乙$，则$s^2_甲$
$s^2_乙$.（填“＞”“=”或“＜”）
答案：$＞$
解析：
【分析】
要比较甲乙两人射击成绩的方差大小，首先需明确方差的计算逻辑：先计算两组数据的平均数，再代入方差公式分别计算两者的方差，最后比较大小即可。解题时先从统计图中提取各成绩对应的次数，先算总次数和平均成绩，再代入方差公式计算验证即可。
【解析】
首先计算甲、乙射击成绩的平均数：
甲的射击总次数：$1+3+2+3+1=10$（次）
$\overline{x}_甲=\frac{6×1 +7×3 +8×2 +9×3 +10×1}{10}=\frac{80}{10}=8$
乙的射击总次数：$1+2+4+2+1=10$（次）
$\overline{x}_乙=\frac{6×1 +7×2 +8×4 +9×2 +10×1}{10}=\frac{80}{10}=8$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$计算方差：
$s^2_甲=\frac{1}{10}[1×(6-8)^2 +3×(7-8)^2 +2×(8-8)^2 +3×(9-8)^2 +1×(10-8)^2]$
$=\frac{1}{10}×(4+3+0+3+4)=1.4$
$s^2_乙=\frac{1}{10}[1×(6-8)^2 +2×(7-8)^2 +4×(8-8)^2 +2×(9-8)^2 +1×(10-8)^2]$
$=\frac{1}{10}×(4+2+0+2+4)=1.2$
因为$1.4＞1.2$，所以$s^2_甲 ＞ s^2_乙$。
【答案】
$＞$
【知识点】
方差的计算；平均数的计算；方差的意义
【点评】
本题是方差的基础应用题，解题核心是熟练掌握平均数、方差的计算公式，也可直接通过数据的集中程度判断：乙的成绩更多集中在平均成绩8环附近，波动更小，方差更小，可快速得到结论。
【难度系数】
0.7
3. 甲、乙两位同学参加5次诗词选拔赛的成绩统计如下表，他们5次考试的总成绩相同(单位:分)。
(1) 小颖计算了甲同学成绩的平均数为60分，方差为200，请求乙同学成绩的平均数和方差。
098
(2) 甲、乙两位同学谁的成绩更稳定？
(3) 现进行了第6次比赛，甲、乙的成绩都是70，甲、乙成绩的离差平方和分别变大还是变小？
答案：解：
(1) 甲5次考试的总成绩为 $5×60=300$ 分，
由题意可知乙的总成绩也为300分，因此：
$70+50+70+a+70=300$，
解得 $a=40$。
乙同学成绩的平均数为：
$\bar{x}_乙=\frac{1}{5}×300=60$（分）
乙同学成绩的方差为：
$s_乙^2=\frac{1}{5}[(70-60)^2+(50-60)^2+(70-60)^2+(40-60)^2+(70-60)^2]$
$=\frac{1}{5}×(100+100+100+400+100)=160$。
(2) 已知 $s_甲^2=200$，$s_乙^2=160$，$200＞160$，方差越小成绩越稳定，
因此乙同学的成绩更稳定。
(3) 甲原来5次成绩的离差平方和为 $5×200=1000$，加入第6次成绩70后，6次成绩的平均数为 $\frac{300+70}{6}=\frac{370}{6}$，新的离差平方和为 $\frac{3250}{3}\approx1083.3＞1000$，甲的离差平方和变大；
乙原来5次成绩的离差平方和为 $5×160=800$，加入第6次成绩70后，新的离差平方和为 $\frac{2650}{3}\approx883.3＞800$，乙的离差平方和也变大。
答：(1) 乙同学成绩的平均数为60分，方差为160；(2) 乙同学的成绩更稳定；(3) 甲、乙成绩的离差平方和都变大。
解析：
【分析】
(1) 首先根据甲的平均数求出甲5次的总成绩，由甲乙总成绩相等列方程求出乙成绩中未知的a值，再分别代入平均数、方差公式计算乙的平均数和方差即可；
(2) 方差是衡量数据波动大小的量，方差越小数据越稳定，直接比较甲乙两人的方差大小就能判断谁的成绩更稳定；
(3) 离差平方和等于方差乘以数据个数，先算出两人原来的离差平方和，再计算加入第6次成绩后的新平均数，进而算出新的离差平方和，比较新旧值的大小即可判断变化情况。
【解析】
(1) 甲同学5次考试的总成绩为：$5 × 60 = 300$分，
由题意知乙的总成绩也为300分，因此列方程：
$70 + 50 + 70 + a + 70 = 300$，
解得$a = 40$。
乙同学成绩的平均数：
$\bar{x}_乙 = \frac{1}{5} × 300 = 60$（分）
乙同学成绩的方差：
$s_乙^2 = \frac{1}{5}[(70-60)^2 + (50-60)^2 + (70-60)^2 + (40-60)^2 + (70-60)^2]$
$= \frac{1}{5} × (100 + 100 + 100 + 400 + 100) = 160$。
(2) 已知$s_甲^2 = 200$，$s_乙^2 = 160$，可得$s_甲^2 ＞ s_乙^2$，
根据方差越小，数据波动越小，成绩越稳定的性质，可知乙同学的成绩更稳定。
(3) 离差平方和 = 方差 $×$ 数据个数：
甲原来5次成绩的离差平方和为$5 × 200 = 1000$，
加入第6次成绩70后，6次成绩的平均数为$\frac{300 + 70}{6} = \frac{370}{6}$，
新的离差平方和约为$1083.3 ＞ 1000$，因此甲的离差平方和变大；
乙原来5次成绩的离差平方和为$5 × 160 = 800$，
加入第6次成绩70后，新的离差平方和约为$883.3 ＞ 800$，因此乙的离差平方和也变大。
【答案】
(1) 乙同学成绩的平均数为60分，方差为160；
(2) 乙同学的成绩更稳定；
(3) 甲、乙成绩的离差平方和都变大。
【知识点】
平均数计算，方差计算，方差的意义
【点评】
本题围绕数据的离散程度设置问题，考查了平均数、方差、离差平方和的计算及方差的实际意义，解题的关键是牢记相关公式，理解方差越小数据越稳定的性质，计算时需注意运算准确性。
【难度系数】
0.7
